%
\ANG
{
	Gegeben sind die folgenden Gleichungen mit~~$G=\RR$\,:\\
	$$\begin{array}{r c l}
		-5\,x\;+30=0							&\qquad(1)\\
		&\\
		\frac{x\;-6}{17}=0 						&\qquad(2)\\
		&\\
		\frac{x\;-6}{x\;+3}=0 					&\qquad(3)\\
		&\\
		\frac{x\;-6}{-3\,x\;+18}=0 				&\qquad(4)\\
		&\\
		\frac{36\;-x^2}{x\;-6}=0 				&\qquad(5)\\
		&\\
		\frac{0{,}5\,x^2\;-6\,x\;+18}{x\;+6}=0	&\qquad(6)\\
		&\\
		\frac{x^2\;-4\,x\;-12}{2\,x\;-6}=0 		&\qquad(7)\\
		&\\
		(-1{,}1)^{17}\cdot(\sqrt{2\,x}\;+2\sqrt{3})\cdot17\tfrac{1}{3}\cdot(\sqrt{2\,x}\;-\sqrt{12})=0	&\qquad(8)
	\end{array}$$
	\begin{enumerate}
	\item	Ermittle die L"osung der Gleichung (1)\,!
	\item	Untersuche, ob die L"osungsmengen der Gleichungen~(2) bis (8) mit der\\
			von Gleichung~(1) "ubereinstimmen! Begr"unde jeweils deine Antwort!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$L=\{6\}$.
	\item	Gleichung {\bf(2)}:\\
			Da der Nenner stets von 0 verschieden ist, hat der Bruch den Wert 0, wenn der Z"ahler den Wert 0 hat. Das ist wieder
			wie in (1) f"ur $x=6$ der Fall.\\

			Gleichung {\bf(3)}:\\
			F"ur die Definitionsmenge gilt:~~$D=\RR\setminus\{-3\}$. Der Z"ahler verschwindet f"ur $x=6$.
			Also ist die L"osung wieder die gleiche wie in (1).\\

			Gleichung {\bf(4)}:\\
			Der Nennner wird~$0$ f"ur $x=6$. Also folgt:~~$D=\RR\setminus\{6\}$.\\
			Der Z"ahler hat nur eine einzige Nullstelle, n"amlich $x=6\,\notin D$.\\
			Die L"osungsmenge ist im Gegensatz zu~(1) {\bf leer}.\\

			Gleichung {\bf(5)}:\\
			Wieder gilt:~~$D=\RR\setminus\{6\}$.\\
			$36\;-x^2=(6\;-x)\,(6\;+x)=0\quad\iff\quad x=6\notin D~\vee~x=-6\in D$.\\
			Also ist $x=-6$ die einzige L"osung. Sie stimmt nicht mit der L"osung von~(1) "uberein.\\

			Gleichung {\bf(6)}:\\
			$D=\RR\setminus\{-6\}$.\\
			$0{,}5\,x^2\;-6\,x\;+18=0{,}5\,(x\;-6)^2=0\quad\iff\quad x=6\in D$.\\
			Die Gleichung~(6) besitzt die gleiche L"osung wie die Gleichung~(1).\\

			Gleichung {\bf(7)}:\\
			$D=\RR\setminus\{3\}$.\\
			$(x\;+2)\,(x-6)=0\quad\iff\quad x=-2\in D~\vee~x=6\in D$.\\
			Eine der L"osungen der Gleichung~(7) ist zwar mit der der Gleichung~(1) identisch,\\
			aber die Gleichung~(7) besitzt noch eine zweite L"osung, die in~(1) nicht auftaucht.\\
			Die Gleichungen~(1) und (7) haben also {\bf verschiedene  L"osungsmengen}.\\

			Gleichung {\bf(8)}:\\
			$\phantom{\iff\quad}(-1,1)^{17}\cdot(\sqrt{2\,x}\;+\sqrt{12})\cdot17\tfrac{1}{3}\cdot(\sqrt{2\,x}\;-\sqrt{12})=0\\
			\iff\quad(-1,1)^{17}\cdot17\tfrac{1}{3}\cdot\left((\sqrt{2\,x})^2\;-(\sqrt{12})^2\right)=0\\
			\iff\quad(-1,1)^{17}\cdot17\tfrac{1}{3}\cdot\left(2\,x\;-12\right)=0.\\
			\iff\quad x=6\in D$.\\
			Also ist die L"osung wieder die gleiche wie in (1).
	\end{enumerate}
}
