%
\ANG
{	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh137mn_a1.1}
    \end{center}
	Im Dreieck~$ABC$ mit der H"ohe~$\overline{CF}$ sind die Punkte~$M_a$ und $M_b$
	jeweils die Umkreis\-mittel\-punkte der Teildreiecke~$FBC$ und $AFC$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur $~|\overline{AB}|=8\,cm$, $~\alpha=65^\circ~$ und $~\beta=40^\circ$\,!
	\item 	Begr"unde auf verschiedene Weise:\\
			Das Viereck~$FM_aCM_b$ ist ein achsensymmetrischer Drachen!
	\item 	Begr"unde, dass die beiden Dreiecke~$AFM_b$ und $FBM_a$\\
			zusammen die H"alfte des Dreiecks~$ABC$ bedecken!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh137mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	{\bf 1. M"oglichkeit:}\\
			Im Kreis~$k_1$ gilt: $~|\overline{M_bA}|=|\overline{M_bF}|=|\overline{M_bC}|$.\\
			Im Kreis~$k_2$ gilt: $~|\overline{M_aB}|=|\overline{M_aF}|=|\overline{M_aC}|$.\\
			Also sind im Viereck~$FM_aCM_b$ zweimal zwei benachbarte Seiten gleich lang,
			womit ein achsensymmetrisches Drachenviereck vorliegt.\\
			{\bf 2. M"oglichkeit:}\\
			Beim rechtwinkligen Dreieck f"allt der Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusen\-mittelpunkt zusammen.
			Also sind die Kreismittelpunkte~$M_a$ und $M_b$ gleichzeitig die Mittelpunkte der Seiten~$a=\overline{BC}~$ bzw. $~b=\overline{AC}$.\\
			Die Dreiecke~$FBC$ und $F_aBM_a$ sind zueinander "ahnlich.\\
			Wegen $~|\overline{BC}|=2\cdot|\overline{BM}_a|~$ folgt dann $~|\overline{FC}|=2\cdot|\overline{F_aM}_a|=2\cdot|\overline{F_bM}_b|$.\\
			Also gilt: $~h_1=h_2=|\overline{SF}|=|\overline{SC}|$. Daher liegt die Gerade~$M_aM_b$ zur Grund\-linie~$\overline{AB}$ des Dreiecks~$ABC$ parallel.
			Diese Parallele steht damit auf der Diagonalen des Vierecks~$FM_aCM_b$ senkrecht.
			Gleichzeitig halbiert der Punkt~$S$ die H"ohe~$\overline{CF}$ des Dreiecks~$ABC$.
			Also ist das Viereck~$FM_aCM_b$ ein achsensymmetrischer Drachen.
	\item 	Die in der 2.~M"oglichkeit verwendete Argumentation ergibt nun Folgendes:
			\begin{itemize}
			\item 	Die vier Dreiecke~$F_aBM_a$, $FF_aM_a$, $FM_aS$ und $SM_aC$ sind kongruent.\\
					Das Dreieck~$FBM_a$ besteht aus zwei dieser kongruenten Dreiecke.\\
					Also ist das Dreieck~$FBM_a$ halb so gro"s wie das Teildreieck~$FBC$.
			\item 	Die vier Dreiecke~$AF_bM_b$, $F_bFM_b$, $FSM_b$ und $M_bSC$ sind kongruent.\\
					Das Dreieck~$AFM_b$ besteht aus zwei dieser kongruenten Dreiecke.\\
					Also ist das Dreieck~$AFM_b$ halb so gro"s wie das Teildreieck~$AFC$.
			\end{itemize}
			Also sind die Dreiecke~$AFM_b$ und $FBM_a$ zusammen halb so gro"s wie das Dreieck~$ABC$.\\
			{\bf Oder:}\\
			Weil der Schnittpunkt~$S$ auf halber H"ohe im Dreieck~$ABC$ liegt, gilt:\\
			$A_{\Delta\,M_bM_aC}=\tfrac{1}{4}\cdot A_{\Delta\,ABC}~$ (zentrische Streckung mit $k=\tfrac{1}{2})$.\\
			Das Viereck~$FM_aCM_b$ ist ein achsensymmetrischer Drachen mit der Diagonalen~$\overline{M_aM}_b$\\
			als Symmetrieachse $\quad\Rightarrow\quad A_{FM_aCM_b}=2\cdot\tfrac{1}{4}\,A_{\Delta\,ABC}=\tfrac{1}{2}\cdot A_{\Delta\,ABC}$.\\
			Dann muss der Rest, n"amlich derjenige, der aus den beiden Dreiecken~$AFM_b$ und $FBM_a$ besteht,
			ebenfalls die H"alfte des Dreiecks~$ABC$ einnehmen.
	\end{enumerate}
}
