%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh207mn_a1.1}
    \end{center}
    Die Punkte~$M_a$ und $M_c$ sind Seitenmittelpunkte der Raute~$ABCD$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$|\overline{AC}|=8\,cm$~ und ~$|\overline{BD}|=5\,cm$\,!
	\item 	Berechne den Fl"achenanteil des get"onten Dreiecks~$AM_aG$\\
			an der Raute~$ABCD$ in Prozent!
	\end{enumerate}    
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh207mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt~$A$ des Dreiecks~$AM_aG$\\
			mit: ~$A_{\triangle AM_aG}=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{M_aG}|\cdot|\overline{FA}|$\,!~~{\bf (*)}\\
			Nun ist: ~$|\overline{M_aG}|=|\overline{M_aF}|\;+|\overline{FG}|$.~~{\bf (**)}\\
			Es gilt offensichtlich: ~$|\overline{FA}|=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{AM}|=\tfrac{1}{4}\cdot|\overline{AC}|$.\\
			Analog gilt: ~$|\overline{M_aF}|=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{BM}|=\tfrac{1}{4}\cdot|\overline{BD}|$.\\
			Anhand der gestrichelten Hilfslinien folgt aus den Strahlens"atzen:\\
			$|\overline{AF}|=\tfrac{1}{4}\cdot|\overline{AC}|$ ~und~ $|\overline{AF}|=\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{AE}|$.\\
			Dann gilt: ~$|\overline{FG}|=\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{EM_c}|=\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{M_aF}|
			=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{4}\cdot|\overline{BD}|=\tfrac{1}{12}\cdot|\overline{BD}|$.\\ 
			Mit {\bf (**)} ergibt sich dann: ~$|\overline{M_aG}|=\tfrac{1}{4}\cdot|\overline{BD}|\;+\tfrac{1}{12}\cdot|\overline{BD}|
			=\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{BD}|$.\\ 
			Mit {\bf (*)} ergibt sich schlie"slich:\\
			$A_{\triangle AM_aG}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{BD}|\cdot\frac{1}{4}\cdot|\overline{AC}|
			=\tfrac{1}{12}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{BD}|\cdot|\overline{AC}|=\tfrac{1}{12}\cdot A_{ABCD}$\\
			$\Rightarrow\quad\frac{A_{\triangle AM_aG}}{A_{ABCD}}=\frac{1}{12}=0{,}08\overline{3}=8{,}\overline{3}\,\%$.
	\end{enumerate} 
}