%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\EPSBASIS{09jk001mn1}{4.5cm}{}
    \end{center}
	In obiger Figur teilen die Punkte~$E$ und $F$ die Seite~$\overline{AB}$ des Quadrates~$ABCD$ in drei je\-weils~$2\,cm$ lange Abschnitte.
	Die Punkte~$G$ und $H$ sind auf $\overline{CD}$ beweglich und es gilt: ~$|\overline{DH}|=|\overline{GC}|=x\,cm$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur $x=1{,}2$\,!
	\item 	Der Abstand des Punktes~$S$ von der Seite $\overline{CD}$ sei $y\,cm$.\\
			Zeige auf verschiedene Weise, dass f"ur $y$ gilt:
			$$y=\frac{6\cdot(3\;-x)}{(4\;-x)}\text{\,!}$$
			{\bf Hinweis f"ur eine M"oglichkeit: }\\
			Betrachte mithilfe einer vom Punkt~$G$ ausgehenden Hilfslinie "ahnliche Dreiecke!
	\item 	Berechne~$x$ auf verschiedene Weise so, dass der Fl"acheninhalt des
			Dreiecks~$HSG$ doppelt so gro"s wie der des Dreiecks~$EFS$ wird!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	--
	\item 	Wenn $y$ zunimmt (abnimmt), dann wird $x$ kleiner (gr"o"ser)!
			\begin{center}
				\EPSBASIS{09jk001mn2}{5cm}{}
			\end{center}
			{\bf 1.\,M"oglichkeit} (mit der Hilfslinie $\overline{GT}$):\\
			Wegen ~$|\overline{EB}|=4\,cm$~ folgt ~$|\overline{ET}|=(4\;-x)\,cm$~ und ~$\triangle PSG \sim \triangle ETG$:
			$$\frac{|\overline{PS}|}{|\overline{PG}|}=\frac{|\overline{GT}|}{|\overline{ET}|}
			\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{3\;-x}=\frac{6}{4\;-x};$$
			Damit ergibt sich der gew"unschte Ausdruck.\\
			{\bf 2.\,M"oglichkeit} (ohne die Hilfslinie $\overline{GT}$):\\
			Es gilt: ~$|\overline{QS}|=(6\;-y)\,cm$~ und ~$\triangle PSG \sim \triangle ETG$:
			$$\frac{|\overline{SP}|}{|\overline{PG}|}=\frac{|\overline{QS}|}{|\overline{EQ}|}
			\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{3\;-x}=\frac{6\;-y}{1}$$
			$\Rightarrow\quad y=(3\;-x)(6\;-y)=18\;-3\,y\;-6\,x\;+x\,y\quad\iff\quad(4\;-x)\,y=18\;-6\,x$;\\ 
			woraus die obige Beziehung folgt.
	\item 	{\bf 1.\,M"oglichkeit} (elegant):\\
			Es gilt $\triangle EFS\sim\triangle HSG$. Wenn das Dreieck~$HSG$ doppelt so gro"s wie das Dreieck~$EFS$ ist,
			dann muss f"ur die entsprechenden Seitenl"angen der Streckungsfaktor den Wert~$\sqrt{2}$ besitzen, womit
			$|\overline{HG}|=\sqrt{2}\cdot|\overline{EF}|$, also ~$6\;-2\,x=\sqrt{2}\cdot2$~ gilt.\\
			Damit ergibt sich: ~$x=3\;-\sqrt{2}\approx1{,}59$.\\
			{\bf 2.\,M"oglichkeit} (aufw"andig):\\
			Es muss gelten: ~$A_{\triangle HSG}=2\cdot A_{\triangle EFS}$.
			Also: ~$\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{HG}|\cdot|\overline{PS}|=2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{EF}|\cdot|\overline{QS}|$\\
			$\iff\quad(3\;-x)\cdot y=2\cdot(6\;-y)\quad\iff\quad y=\tfrac{12}{5\;-x}$.\\ 
			Mit dem Ergebnis der Aufgabe~(b) folgt dann
			$$\frac{6\cdot(3\;-x)}{(4\;-x)}=\frac{12}{5\;-x}.$$
			Diese Bruchgleichung f"uhrt dann auf die quadratische Gleichung
			$$x^2\;-6\,x\;+7=0\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\tfrac{6\;\pm2\sqrt{2}}{2}=3\;\pm\sqrt{2}.$$
			Das Pluszeichen entf"allt mit $G=\,]0;\;3[_{\RR}$, da ~$3\;+\sqrt{2}>3$ ist.
	\end{enumerate}
}