%
%
\ANG
{
	Am Quadrat~$ABCD$ liegt das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck~$DCS$, dessen Punkt~$D$
	der Mittel\-punkt des Kreisbogens~$k$ durch den Quadrat\-mittelpunkt~$M$ ist.
	Dadurch entsteht der achsensymmetrische Drachen~$PQRS$.
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh024mn_a.1}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$|\overline{AB}|=4\,cm$\,!
	\item 	F"ur die L"ange der Seite~$\overline{AB}$ soll jetzt gelten: ~$|\overline{AB}|=2\,a$.\\
			Berechne damit den Anteil des Fl"acheninhalts der Drachenfigur~$PQRS$\\
			an der Gesamtfl"ache der Figur~$ABCSD$ als Bruch und in Prozent!
	\item 	Welchen Fl"acheninhalt besitzt das Quadrat~$ABCD$, wenn\\
			beim Dreieck der Schenkel~$\overline{DS}$ eine L"ange von~$14{,}5\,cm$ hat?
	\item 	Es sieht so aus, als ob der Kreisbogen~$k$ durch den Schnittpunkt\\
			der Strecke~$\overline{SR}$ mit der Strecke~$\overline{TC}$ verlaufen w"urde.\\
			Tr"ugt der Anschein? Rechne wieder mit ~$|\overline{AB}|=2\,a$\,!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh024mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Mit der Grundlinienl"ange ~$|\overline{DC}|=2\,a$~ und der H"ohenl"ange ~$|\overline{TS}|=a$~ vom Dreieck gilt:\\
			$A_{ABCSD}=A_{ABCD}\;+A_{DCS}=(2\,a)^2\;+\tfrac{1}{2}\cdot2\,a\cdot a=5\,a^2$\\
			$A_{PQRS}=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{QS}|\cdot|\overline{PR}|=\tfrac{1}{2}\cdot(2\,a\;+a)\cdot2\,a=3\,a^2$\\
			$\Rightarrow\quad\frac{A_{PQRS}}{A_{ABCSD}}=\frac{3\,a^2}{5\,a^2}=\tfrac{3}{5}=0{,}6=60\,\%$.
	\item 	Das Dreieck~$DCS$ ist ein halbes Quadrat, dessen Seite jetzt $14{,}5\,cm$ lang ist.\\
			Also muss gelten: ~$A_{DCS}=\tfrac{1}{2}\cdot(14{,}5\,cm)^2=105{,}125\,cm^2$.\\
			Mit Hilfe der gestrichelten Linien erkennst du, dass das Quadrat~$ABCD$ in vier kongruente Dreiecke
			zerlegt wird, die zum Dreieck~$DCS$ kongruent sind.	Somit hat das Quadrat dann einen
			Fl"acheninhalt von $4\cdot105{,}125\,cm^2=420{,}5\,cm^2$.
	\item 	Mit~$K$ als Schnittpunkt der Strecken~$\overline{SR}$ und $\overline{TC}$ gilt:\\
			$|\overline{KC}|=|\overline{DC}|\;-|\overline{DK}|=2\,a\;-\sqrt{2}\,a=(2\;-\sqrt{2})\cdot a$\\
			$|\overline{TK}|=\sqrt{2}\,a\;-a=(\sqrt{2}\;-1)\cdot a$\\
			$\Rightarrow\quad\frac{|\overline{KC}|}{|\overline{TK}|}=\frac{(2\;-\sqrt2)\,a}{(\sqrt2\;-1)\,a}
			=\frac{2\;-\sqrt2}{\sqrt2\;-1}=\frac{\sqrt2\,^2\;-\sqrt2}{\sqrt2\;-1}
			=\frac{(\sqrt2\;-1)\,\sqrt2}{(\sqrt2\;-1)}=\sqrt2$.\\
			Nat"urlich liefert ~$\frac{2\;-\sqrt2}{\sqrt2\;-1}=\frac{2\;-\sqrt2}{\sqrt2\;-1}\cdot\frac{\sqrt2\;+1}{\sqrt2\;+1}$~ das gleiche Resultat.\\
			Es sei~$L$ der Schnittpunkt des Kreisbogens~$k$ mit der Strecke~$\overline{TC}$.
			Zwar liegen die Punkte~$K$ und $L$ in der Zeichnung aufeinander, aber ist das auch tats"achlich so?\\
			Die Dreiecke~$LRC$ und $TLS$ sind beide rechtwinklig und sie besitzen im Punkt~$L$ ma"s\-gleiche Scheitelwinkel.
			Also sind die beiden Dreiecke zueinander "ahnlich und du kannst den Vierstrecken\-satz anwenden:
			~$\Rightarrow\quad\D\frac{|\overline{LC}|}{|\overline{TL}|}=\D\frac{|\overline{RC}|}{|\overline{TS}|}
			=\D\frac{|\overline{DP}|}{|\overline{TS}|}=\D\frac{\sqrt2\,a}{a}=\sqrt2$.\\
			Also teilt der Punkt~$L$ die Strecke~$\overline{TC}$ im gleichen Verh"altnis wie der Punkt~$K$.
			Dann m"ussen aber die beiden Punkte~$K$ und $L$ aufeinander liegen; d.\,h. der Kreisbogen~$k$
			verl"auft tats"achlich durch den Schnittpunkt der Strecken~$\overline{SR}$ und $\overline{TC}$.
	\end{enumerate}
}              