%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh075mn_a1.1}
    \end{center}
	In das rechtwinklige Dreieck~$ABC$ ist das Quadrat~$PQRS$ mit der Seitenl"ange $x$\\
	einbeschrieben.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$a=|\overline{BC}|=6\,cm$~ und ~$b=|\overline{AC}|=8\,cm$\,!
	\item 	Begr"unde, dass die Dreiecke~$FBC$ und $ABC$ zueinander "ahnlich sind!
	\item 	Zeige f"ur die L"ange der Dreiecksh"ohe: ~$h=\D\frac{a\,b}{\sqrt{a^2\;+b^2}}$\,!
	\item 	Begr"unde, dass die Dreiecke~$SRC$ und $ABC$ zueinander "ahnlich sind!
	\item 	Zeige, dass f"ur die Quadratseitenl"ange gilt: ~$x=\D\frac{a\,b\,\sqrt{a^2\;+b^2}}{a^2\;+a\,b\;+b^2}$\,!
	\item 	Berechne mit Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe~(e) den prozentualen Anteil der Fl"ache des Quadrates~$PQRS$
			an der Fl"ache des Dreiecks~$ABC$ f"ur den Fall, dass das Dreieck~$ABC$ gleichschenklig-rechtwinklig ist!\\
			Begr"unde dieses Ergebnis auch elementargeometrisch	durch eine Zeichnung!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh075mn_l1.1}
			\end{center}
			Zeichne z.\,B. das Probequadrat~$FHKC$ mit der Seitenl"ange~$h=4{,}8\,cm$\,!\\ 
			$\overline{AK}\cap\overline{BC}=\{R\}$. Zeichne dann das Quadrat~$PQRS$ mit der Seite~$\overline{RQ}$ fertig!
	\item 	Aus der Zeichnung in~(a) ist ersichtlich, dass beide Dreiecke rechtwinklig sind und das Innenwinkel\-ma"s~$\beta$ besitzen.
			Also stimmen sie in allen drei Innenwinkelma"sen "uberein und sind somit zueinander "ahnlich.
	\item 	Wegen $\triangle FBC\sim\triangle ABC$ gilt:
			~$\tfrac{|\overline{CF}|}{|\overline{BC}|}=\tfrac{|\overline{AC}|}{|\overline{AB}|}~~\iff~~h\,c=a\,b~~\iff~~h=\tfrac{a\,b}{c}$.\\
			Mit ~$c=\sqrt{a^2\;+b^2}$ ~folgt die Behauptung, was mit ~$a=6\,cm$~ und ~$b=8\,cm$\\
			zu ~$h=4{,}8\,cm$~ f"uhrt. 
	\item 	Analog zu~(b) sind beide rechtwinkligen Dreiecke mit dem gemeinsamen\\
			Stufenwinkel~$\beta$ zueinander "ahnlich.
	\item 	Wegen $\triangle SRC\sim\triangle ABC$ verhalten sich die L"angen der Hypotenusen wie die\\
			entsprechenden H"ohen in beiden Dreiecken: ~$\D\frac{x}{c}=\D\frac{h\;-x}{h}\quad\iff\quad x=\D\frac{h\,c}{h\;+c}$.\\
			Mit ~$h=\tfrac{a\,b}{\sqrt{a^2\;+b^2}}$~ und ~$c=\sqrt{a^2\;+b^2}$~ folgt durch Einsetzen und Erweitern\\
			$x=\D\frac{a\,b}{\left(\tfrac{a\,b}{\sqrt{a^2\;+b^2}}\;+\sqrt{a^2\;+b^2}\right)}\cdot\D\frac{\sqrt{a^2\;+b^2}}{\sqrt{a^2\;+b^2}}\quad$
			die Behauptung.
	\item 	In diesem Fall mit ~$b=a$~ folgt: ~$x=\tfrac{\sqrt{2}\,a^3}{3\,a^2}=\tfrac{\sqrt{2}}{3}\,a$\\
			$\Rightarrow\quad\D\frac{A_{PQRS}}{A_{\triangle ABC}}=\D\frac{x^2}{\D0{,}5\,a^2}=\D\frac{\tfrac{2}{9}\,a^2}{0{,}5\,a^2}
			=\D\frac{4}{9}=0{,}\overline{4}=44{,}\overline{4}\,\%$.
			\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh075mn_l2.1}
			\end{center}
			Das Dreieck~$ABC$ kann man in neun kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke zerlegen.
			Vier davon nimmt das einbeschriebene Quadrat ein, womit es vier Neuntel der Dreiecks\-fl"ache belegt.
	\end{enumerate}
}