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\ANG
{
	W"ahrend der "Ubertragung der US-Tennismeisterschaften~2003 in New York war im 
	Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so "ahnlich aussah wie die Abbildung unten.\\
	Das wei"se Viereck ist ein Quadrat. Es gilt $|\overline{AB}|=|\overline{DF}|=a\,cm$.\\
	Zus"atzlich ist hier das Dreieck~$AEF$ eigezeichnet.
	\begin{center}
		\EPSBASIS{09eh020mn_a}{6cm}{}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur~~$|\overline{FG}|=3{,}2\,cm$~~so, dass die Strecke~$\overline{KB}$ waagrecht liegt!
	\item	Berechne in deiner Zeichnung den Fl"acheninhalt Quadrates~$ABCD$\,!
	\item	\begin{itemize}
			\item	Untersuche ohne Verwendung des Taschenrechners, ob das Dreieck~$AEF$
					gleichschenklig ist! Gilt dein Ergebnis auch dann noch, wenn die Figur
					verkleinert oder vergr"o"sert wird? Begr"unde deine Ansicht!
			\item	Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks~$AEF$ auf drei verschiedene Arten
					in Abh"angigkeit von $a$\,!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$\overline{FG}$ ist genauso lang wie die Diagonale~$\overline{AC}$ des Quadrates~$ABCD$.\\
			Also gilt:~~$a\,\sqrt{2}=3{,}2\quad\iff\quad a=\frac{3{,}2}{\sqrt{2}}=1{,}6\,\sqrt{2}\approx2{,}26$.\\
			F"ur die Zeichnung:~~$|\overline{AF}|=|\overline{KB}|= 2\,a\,cm\approx4{,}52\,cm$.
			\begin{center}
				\EPSBASIS{09eh020mn_b}{6cm}{}
			\end{center}
	\item	$A\,(ABCD)=a^2\,cm^2=1{,}6^{\,2}\cdot2\,cm^2=5{,}12\,cm^2$.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Wegen $|\overline{CE}|=0{,}5\cdot|\overline{AC}|$ m"usste gelten:\\
					$2\,a=1{,}5\,a\,\sqrt{2}\quad(a\neq0)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{2}=\frac{2}{1{,}5}=\frac{4}{3}$.\\
			Weil aber $\sqrt{2}$ irrational ist, liegt hier ein Widerspruch vor.\\
			Dieser Widerspruch l"asst sich auch durch Verg"o"serung oder Verkleinerung der Figur nicht aufl"osen:
			Jede Vergr"o"serung oder Verkleinerung ist eine winkeltreue Abbildung. Wenn in der Ausgangsfigur
			keine zwei Winkel ma"sgleich sind, dann wird dies auch bei einer Gr"o"sen"anderung nicht anders.
			\item	Es wird nur mit Ma"szahlen gerechnet.\\
					1. M"oglichkeit:
					$A\,(AEF)=0{,}5\cdot|\overline{AE}|\cdot|\overline{FC}|=0{,}5\cdot 1{,}5\,a\,\sqrt{2}\cdot a\,\sqrt{2}=1{,}5\,a^2$.\\
					2. M"oglichkeit:
					$A\,(AEF)=0{,}5\cdot|\overline{AF}|\cdot|\overline{EM}|=0{,}5\cdot 2\,a\cdot1{,}5\,a=1{,}5\,a^2$.\\
					3. M"oglichkeit:
					Das Lot~$\overline{FC}$ zerlegt das Dreieck~$AEF$ in die beiden\\
					\phantom{3. M"oglichkeit:~}rechtwinkligen Teil\-dreiecke~$ACF$ und $CEF$.\\
					Das Dreieck~$ACF$ ist so gro"s wie das Quadrat~$ABCD\,$:~~$A\,(ACF)=a^2$.\\
					Weil $\overline{FC}$ parallel zu $\overline{HN}$ ist, folgt:~~$A\,(CEF)=A\,(FCH)=0{,}5\,a^2$\\
					$\Rightarrow\quad A\,(AEF)=a^2\;+0{,}5\,a^2=1{,}5\,a^2.$
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
