%
%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh069mn_a1.1}
    \end{center}
	Das ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das
	gleichseitige Dreieck~$ADG$. Der Umkreis mit dem Mittelpunkt~$M$ wurde zusammen mit dem Umkreisradius~$r$
	zus"atzlich eingezeichnet. Die L"ange der Quadrat\-seite~$\overline{AB}$ ist $a$.
	\begin{enumerate}
	\item	Berechne den Umkreisradius~$r$ f"ur $a=4$\,!
	\item 	Wie viel Prozent der Umkreisfl"ache wird von dem sechseckigen Logo bedeckt?
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh069mn_l1.1}
			\end{center}
			Das Logo ist mit seinem Umkreis verkleinert dargestellt.\\
			Im gleichseitigen Dreieck~$ADG$ stellt die Strecke~$\overline{GT}$ die Dreiecksh"ohe dar.\\
			Dann gilt:~~$|\overline{MT}|=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot a\,\sqrt{3}=\frac{1}{6}\cdot a\,\sqrt{3}$\\
			$\quad\Rightarrow\quad|\overline{MK}|=\frac{1}{6}\cdot a\,\sqrt{3}\;+a=a\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\;+1\right)$.
			Weiter gilt:~~$|\overline{CK}|=\frac{1}{2}\cdot a$.\\
			Im rechtwinkligen Dreieck $MKC$ gilt:\\
			$r^2=\left(a\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\;+1\right)\right)^2\;
			+\left(\frac{1}{2}\cdot a\right)^2=a^2\cdot\left(\frac{3}{36}
			+\frac{\sqrt{3}}{3}+1\;+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{3}\left(4\;+\sqrt{3}\right)\,a^2$\hfill{\bf (*)}\\
			$\Rightarrow\quad r=\sqrt{\frac{4\;+\sqrt{3}}{3}}\cdot a$~~mit~~$a=4\,cm$~~folgt~~$r\approx5{,}53\,cm$.
	\item	F"ur die Fl"ache $A_{\odot}$ des Umkreises gilt dann mit~~{\bf (*)}:~~$A_{\odot}=\tfrac{\pi}{3}\,(4+\sqrt 3)\,a^2$.\\
			Das gleichschenklige Dreieck~$EDC$ hat die Schenkel\-l"ange~$a$. Es wird durch die H"ohe~$\overline{LD}$
			in die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke~$EDL$ und $LDC$ zerlegt. Es gilt:\\
			$\sphericalangle CDE=360^\circ\;-2\cdot 90^\circ\;-60^\circ=120^\circ~\Rightarrow~\sphericalangle DEL=\sphericalangle LCD=(180^\circ\;-120^\circ):2=30^\circ$.\\
			Somit lassen sich die beiden H"alften des Dreiecks~$EDC$ zu einem gleichseitigen Dreieck
			zusammenf"ugen, das mit dem gleichseitigen Dreieck~$ADG$ kongruent ist.
			Um den Fl"acheninhalt des Logos zu berechnen, musst du also zu dem der drei Quadrate den
			vierfachen des gleichseitigen Dreiecks~$ADG$ im Zentrum addieren!\\
			F"ur~$A_{Logo}$ ergibt sich dann:\\
			$A_{Logo}=3\cdot a^2\;+4\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\sqrt{3}=3\,a^2\;+a^2\sqrt{3}=(3\;+\sqrt{3})\,a^2$.\\
			$\frac{A_{Logo}}{A_{\odot}}=\frac{(3\;+\sqrt{3})\,a^2}{\frac{\pi}{3}\,(4\;+\sqrt{3})\,a^2}\approx0{,}7883=78{,}83\,\%$.\\
			Knapp $79\,\%$ der Umkreisfl"ache werden vom TDK-Logo bedeckt.      
	\end{enumerate}
}
