%
%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh078mn_a1.1}\hspace{1.5cm}\includegraphics{09eh078mn_a2.1}
    \end{center}
	Das dargestellte Rechteck~$ABCD$ wird so gefaltet, dass der Eckpunkt~$B$ auf dem\\
	Eckpunkt~$D$ zu liegen kommt. Dadurch entsteht die Faltkante~$\overline{PQ}$.
	\begin{enumerate}
	\item	Schneide aus kariertem Papier ein Rechteck~$ABCD$\\
			mit~~$|\overline{AB}|=8\,cm$~~und~~$|\overline{BC}|=4\,cm$~~aus!\\
			Falte es auf die oben beschriebene Weise!
	\item	Zeichne die Figur oben rechts f"ur~~$|\overline{AB}|=8\,cm$~~und~~$|\overline{BC}|=4\,cm$\,!
	\item	\begin{itemize}
			\item	Begr"unde mit Hilfe von Winkelma"sen:\\
					Das Viereck~$PBQD$ ist ein Parallelogramm!
			\item	Begr"unde:~~Das Viereck~$PBQD$ ist sogar eine Raute!
			\end{itemize}
	\item 	Es sei~~$|\overline{AP}|=x\,cm$.~~Zeige rechnerisch:~~$x=3$\,!
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt der Raute $PBQD$\\
			auf zwei verschiedene Arten mit Hilfe von Teildreiecken!
	\item 	Berechne erneut den Fl"acheninhalt der Raute~$PBQD$\\
			mit Hilfe ihrer Diagonalenl"angen!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Klar.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh078mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Jede Faltachse ist gleichzeitig Spiegel- bzw. Symmetrieachse.\\
					Also gilt:~~$\Delta PBQ\cong\Delta PQD\quad\Rightarrow\quad\varphi_1=\varphi_2$.\\
					Wegen~~$\overline{AB}\parallel\overline{BD}$~~folgt~~$\varphi_2=\varphi_3$~~($Z$-Winkel).\\
					Also gilt:~~$\varphi_1=\varphi_3$~~und damit~~$\overline{BQ}\parallel\overline{PD}$.\\
					Weil gleichzeitig~~$\overline{PB}\parallel\overline{QD}$~~gilt, sind die beiden	gegen\-"uber\-liegenden Seiten\\
					jeweils parallel:~~Das Viereck~$PBQD$ muss ein Parallelogramm sein.
			\item	Beim Parallelogramm~$PBQD$ liegt eine Diagonale auf der Symmetrie\-achse~$PQ$.\\
					Parallelogramme mit einer Winkelhalbierenden als Spiegelachse sind Rauten.
			\end{itemize}
	\item	Es gilt:~~$|\overline{PB}|=|\overline{PD}|=(8\;-x)\,cm$.\\
			PYTHAGORAS im Dreieck~$ABD$:\\
			$(8\;-x)^2=4^2\;+x^2~~\iff~~64\;-16\,x\;+x^2~=~x^2\;+16~~\iff~~x=3$.
	\item	{\bf 1. M"oglichkeit:}\\
			Berechne die Fl"ache des Teildreiecks~$PQD$ mit~~$A_{\Delta QPD}=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{DQ}|\cdot h$\,!\\
			Weil jede Raute gleichseitig ist, gilt:~~$|\overline{DQ}|=8\,cm\;-3\,cm=5\,cm$.\\
			Also:~~$A_{\Delta QPD}=\tfrac{1}{2}\cdot5\,cm\cdot4\,cm=10\,cm^2$.\\
			Die Raute~$PBQD$ ist doppelt so gro"s wie dieses Teildreieck:\quad $A_{PBQD}=20\,cm^2$.\\
			{\bf 2. M"oglichkeit:}\\
			Schneide vom Rechteck~$ABCD$ die beiden kongruenten Dreiecke~$APD$ und $BCQ$ ab:\\
			$A_{PBQD}=8\,cm\cdot4\,cm\;-2\cdot(\tfrac{1}{2}\cdot3\,cm\cdot4\,cm)=20\,cm^2$.
	\item	Mit dem Lotfu"spunkt~$F$ der H"ohe~$h$ gilt:~~$|\overline{FQ}|=|\overline{DQ}|\;-|\overline{DF}|=5\,cm\;-3\,cm=2\,cm$.\\
			PYTHAGORAS im Dreieck $PQF$ und im Dreieck $ABD$:\\
			$|\overline{PQ}|=\sqrt{4^2\;+2^2\,}\,cm=\sqrt{20}\,cm\quad$ und $\quad|\overline{BD}|=\sqrt{8^2\;+4^2\,}\,cm=\sqrt{80}\,cm$\\
			$\Rightarrow\quad A_{PBQD}=\tfrac{1}{2}\cdot\sqrt{20}\,cm\cdot\sqrt{80}\,cm=20\,cm^2$.
	\end{enumerate}
}
