%
%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh079mn_a1.1}\hspace{1.5cm}\includegraphics{09eh079mn_a2.1}
    \end{center}
	Das dargestellte Quadrat~$ABCD$ wird so gefaltet, dass der Eckpunkt~$C$ auf dem Mittel\-punkt~$M$
	der Seite~$\overline{AD}$ zu liegen kommt. Dadurch entsteht die Faltkante~$\overline{PQ}$.
	\begin{enumerate}
	\item	Schneide aus kariertem Papier ein Quadrat~$ABCD$ mit~~$|\overline{AB}|=6\,cm$~~aus!\\
			Falte es auf die oben beschriebene Weise!
	\item	Zeichne die Figur oben rechts f"ur~~$|\overline{AB}|=6\,cm$\,!
	\item	Es sei~~$|\overline{DQ}|=x\,cm$.~~Zeige rechnerisch:~~$x=2{,}25$\,!
	\item 	Zeige:~~$|\overline{DQ}|:|\overline{DC'}|=3:4$\,!
	\item 	Begr"unde:~~Die Dreiecke~$C'QD$, $ASC'$ und $SB'P$ sind zueinander "ahnlich!
	\item 	Berechne~~$|\overline{AS}|$\,!
	\item	Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks~$ASC'$\,!
	\item 	Berechne~~$|\overline{C'S}|$\,! [Ergebnis:~~$|\overline{C'S}|=5\,cm$]
	\item 	Wie viel Prozent des Fl"acheninhaltes des Quadrates~$ABCD$\\
			liegen nach dem Falten unter der Kante~$\overline{AB}$\,?
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Klar.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh079mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	Die Faltachse~$PQ$ ist gleichzeitig die Spiegelachse. Jede Achsenspiegelung ist l"angen- und winkel\-treu.
			Es gilt also:~~$|\overline{CQ}|=|\overline{QC'}|=(6\;-x)\,cm$.\\
			PYTHAGORAS im Dreieck $C'QD$~~mit~~$|\overline{C'Q}|\,^2=|\overline{C'D}|\,^2\;+|\overline{DQ}|\,^2$\\
			$\Rightarrow~~(6\;-x)^2=x^2\;+3^2~~\iff~~36\;-12\,x\;+x^2~=~x^2\;+9~~\iff~~x=2{,}25$.
	\item	$|\overline{DQ}|:|\overline{DC'}|=2{,}25:3=0{,}75=\tfrac{3}{4}=3:4$.
	\item	Im Dreieck~$C'QD$ gilt:~~$\varphi_1\;+\psi_1=90^\circ$.~~(*)\\
			Am Scheitel~$C'$ gilt:~~$\varphi_1\;+90^\circ\;+\psi_2=180^\circ~~\Rightarrow~~\varphi_1\;+\psi_2=90^\circ$.\\
			Mit~(*) folgt~~$\psi_2=\psi_1$. Somit stimmen die beiden rechtwinkligen Dreiecke~$C'QD$ und $ASC'$ in zwei
			Innenwinkelma"sen "uberein. Wegen der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ in jedem Dreieck m"ussen
			die beiden Dreiecke auch im dritten Innen\-winkel\-ma"s "uberein\-stimmen:~~$\varphi_1=\varphi_2$.
			Also gilt:~~$\Delta C'QD\sim\Delta ASC'$.\\
			Im Dreieck~$SB'P$ gilt:~~$\sphericalangle B'SP=\varphi_2$ (Scheitelwinkel) $=\varphi_1$.
			Die beiden Dreiecke~$ASC'$ und $SB'P$ sind rechtwinklig.
			Also sind sie zueinander "ahnlich. Also sind alle drei Dreiecke zueinander "ahnlich.
	\item	In der L"osung~(d) wurde gezeigt, dass~~$|\overline{DQ}|:|\overline{DC'}|=3:4$~~gilt.\\
			Da die Dreiecke~$C'QD$ und $ASC'$ "ahnlich sind, gilt ebenso~~$|\overline{AC'}|:|\overline{AS}|=3:4$.\\
			Also:~~$\frac{3\,cm}{|\overline{AS}|}=\frac{3}{4}\quad\iff\quad|\overline{AS}|=4\,cm$.
	\item	$A_{\Delta ASC'}=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{AS}|\cdot|\overline{AC'}|=\tfrac{1}{2}\cdot4\,cm\cdot3\,cm=6\,cm^2$.
	\item	PYTHAGORAS im Dreieck $ASC'$~~mit~~$|\overline{C'S}|\,^2=|\overline{AS}|\,^2\;+|\overline{AC'}|\,^2$\\ 
			$\Rightarrow~~|\overline{C'S}|=\sqrt{3^2\;+4^2\,}\,cm=5\,cm$. 
	\item	Mit~~$|\overline{C'B'}|=|\overline{CB}|=6\,cm~~\Rightarrow~~|\overline{SB'}|=|\overline{C'B'}|\;-|\overline{C'S}|=6\,cm\;-5\,cm=1\,cm$.\\
			Wie vorher in~(e) dargelegt, gilt~~$\Delta ASC'\sim\Delta SB'P$.
			Weiter gilt:~~$\frac{|\overline{SB'}|}{|\overline{AS}|}=\frac{1}{4}$.\\
			Der Streckungsfaktor betr"agt hier also $k=\tfrac{1}{4}$.\\
			$A_{\Delta SB'P}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^2\cdot A_{\Delta ASC'}=\tfrac{1}{16}\cdot 6\,cm^2=0{,}375\,cm^2$.\\
			$\frac{A_{\Delta SB'P}}{A_{ABCD}}=\frac{0{,}375\,cm^2}{36\,cm^2}\approx0{,}0104=1{,}04\,\%$.
	\end{enumerate}
}
