%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh104mn.1}
    \end{center}
	Das Rechteck~$ABCD$ wurde an seiner Diagonalen~$\overline{AC}$ gespiegelt.\\
	Dadurch ist das	Viereck~$AD'CB'$ entstanden. Es gilt:~~$x=|\overline{SB'}|$.
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur~~$a=|\overline{AB}|=8\,cm$~~und~~$b=|\overline{BC}|=6\,cm$!
	\item	\begin{itemize}
			\item	Berechne die Seitel"ange~$|\overline{SC}|$ in Abh"angigkeit von $x$	auf verschiedene Weise!
			\item	Zeige dann:~~$x=\tfrac{a^2\;-\,b^2}{2\,a}$\,!
			\end{itemize}
	\item	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A$ des Dreiecks~$ACS$\\
			gilt:~~$A_{\Delta ACS}=\tfrac{b}{4\,a}\cdot(a^2\;+b^2)$\,!
	\item	\begin{itemize}
			\item	Zeichne die Strecke $\overline{B'D}$ ein!
			\item	Begr"unde:~~Das Viereck $ACB'D$ ist ein Trapez!
			\end{itemize}
	\item	Zeige, dass f"ur den~Fl"acheninhalt~$A$ des Dreiecks~$DSB'$\\
			gilt:~~$A_{\Delta DSB'}=\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{\left(a^2\;-\,b^2\right)^2}{a^2\;+\,b^2}$\;!
	\item 	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A$ des Trapezes~$ACB'D$\\
			gilt:~~$A_{ACB'D}=a\,b\cdot\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}$\,!\\
			\begin{tabular}{l c l}
			Tipps: 	& -- & Das Trapez wird durch seine beiden Diagonalen\\
					&    & in vier Teildreiecke zerlegt.\\
					& -- & Zwei Dreiecke davon sind kongruent, die beiden\\
					&    & anderen sind zueinander "ahnlich.\\
					& -- & Den Fl"acheninhalt des Trapezes~$ACB'D$ erh"altst du aus\\
					&    & der Summe der Fl"acheninhalte der vier Teildreiecke.
			\end{tabular}
	\item	In welchem Verh"altnis m"ussen die Seitenl"angen~$a$ und $b$ des Rechtecks~$ABCD$ zueinander stehen, damit
			der Fl"acheninhalt des Trapezes~$ACB'D$ um $10\,\%$ kleiner als der des Rechtecks~$ABCD$ wird?
	\item	Untersuche, ob der Fl"acheninhalt des Trapezes~$ACB'D$ genau so gro"s wie der des Rechtecks~$ABCD$ werden kann!
	\item 	Untersuche rein elementargeometrisch anhand des Winkels~BAC mit dem Ma"s~$\varepsilon$, ob das
			Trapez~$ACB'D$ auch zum Rechteck werden kann!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh104mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	Das Spiegelbild des Rechtecks~$ABCD$ ist das kongruente Rechteck~$AD'CB'$.\\
			Also gilt:~~$|\overline{CB}|=|\overline{CB'}|=|\overline{AD}|=b$.\\
			Die rechtwinkligen Dreiecke~$ASD$ und $SCB'$ stimmen also in der Seitenl"ange~$b$ "uber\-ein.
			Weiter gilt:~~$\psi=\psi*$~(Scheitelwinkel) $\quad\Rightarrow\quad\varphi=\varphi*$.\\
			Damit sind die beiden Dreiecke~$ASD$ und $SCB'$ kongruent.\\
			Insbesondere gilt dann~~$|\overline{AS}|=|\overline{CS}|$~~und~~$|\overline{DS}|=|\overline{SB'}|=x$.
			\begin{itemize}
			\item	Einerseits gilt dann im Dreieck $SCB'$:~~$|\overline{CS}|=\sqrt{b^2\;+x^2}$\\
					Andererseits gilt:~~$|\overline{CS}|=a\;-x$
			\item	$\sqrt{b^2\;+x^2}=a\;-x~\mid^2\quad\Rightarrow\quad b^2\;+x^2=a^2\;-2\,a\,x\;+x^2\quad\Leftrightarrow\quad x=\tfrac{a^2\;-\,b^2}{2\,a}$
			\end{itemize}
			\item	$A_{\Delta ACS}=A_{\Delta ACD}\;-A_{\Delta ASD}$\\
					$A_{\Delta ACS}=\tfrac{1}{2}\,a\,b\;-\tfrac{1}{2}\,b\,x=\tfrac{b}{2}\cdot\left(a\;-\tfrac{a^2\;-\,b^2}{2\,a}\right)
					=\tfrac{b}{2}\cdot\tfrac{2\,a^2\;-\,a^2\;+\,b^2}{2\,a}=\tfrac{b}{4\,a}\cdot(a^2\;+\,b^2)$.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Siehe Zeichnung!
			\item	Aufgrund der Eigenschaften der Achsenspiegelung sind die beiden Dreiecke~$ACB'$
					und $ACD$ kongruent. Sie besitzen die gemeinsame Hypotenuse~$\overline{AC}$.
					Also sind die beiden H"ohen~$\overline{DF}$ und $\overline{B'F'}$ gleich lang.
					Das bedeutet, dass die beiden Punkte~$D$ und $B'$ den gleichen Abstand zur Strecke~$\overline{AC}$ besitzen.
					Also folgt:~~$\overline{B'D}\parallel\overline{AC}$.\\
					Somit ist das Viereck~$ACB'D$ ein (gleichschenkliges) Trapez.
			\end{itemize}
	\item	Die beiden Dreiecke~$ACS$ und $DSB'$ sind zueinander "ahnlich; d.\,h.:\\
			$A_{\Delta DSB'}=k^2\cdot A_{\Delta ACS}$~~mit~~$k=\tfrac{|\overline{DS}|}{|\overline{CS}|}$\\
			$k=\tfrac{x}{a\;-\,x}=\tfrac{a^2\;-\,b^2}{2\,a}:\left(a\;-\tfrac{a^2\;-\,b^2}{2\,a}\right)=\tfrac{a^2\;-\,b^2}{a^2\;+\,b^2}$\\
			$A_{\Delta DSB'}=\left(\tfrac{a^2\;-\,b^2}{a^2\;+\,b^2}\right)^2\cdot\tfrac{b}{4\,a}\cdot(a^2\;+\,b^2)=\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{\left(a^2\;-\,b^2\right)^2}{a^2\;+\,b^2}$.
	\item	\begin{tabular}[t]{rcl}
			$A_{Trapez}$	&$=$ 	&$2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot x\cdot b\;+\tfrac{b}{4\,a}\cdot(a^2\;+b^2)+\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{\left(a^2\;-\,b^2\right)^2}{a^2\;+\,b^2}$\\
							&$=$	&$\tfrac{2\,b}{4\,a}\cdot(a^2\;-b^2)\;+\tfrac{b}{4\,a}\cdot(a^2\;+b^2)\;+\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{\left(a^2\;-\,b^2\right)^2}{a^2\;+\,b^2}$\\
							&$=$	&$\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{2\,(a^2\;-\,b^2)\cdot(a^2\;+\,b^2)\;+\left(a^2\;+\,b^2\right)^2\;+\left(a^2\;-\,b^2\right)^2}{a^2\;+\,b^2}$\\
							&$=$	&$\cdots$\\	 
							&$=$	&$\tfrac{b}{4\,a}\cdot\tfrac{4\,a^4}{a^2\;+\,b^2}=a\,b\cdot\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}$.            
			\end{tabular}
	\item	Es muss gelten:~~$A_{Trapez}=0{,}9\cdot A_{ABCD}$.\\
			Also:~~$a\,b\cdot\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}=0{,}9\cdot a\,b\quad\iff\quad\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}=0{,}9\quad\iff\quad0{,}1\,a^2=0{,}9\,b^2$\\
			Wegen~~$a,\,b>0$~~folgt dann~~$a=3\,b$.
	\item	Es muss gelten:~~$a\,b\cdot\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}=a\,b\quad\iff\quad\tfrac{a^2}{a^2\;+\,b^2}=1$.\\      
			Ein Bruch hat aber genau dann den Wert~$1$, wenn Z"ahler und Nenner gleich sind:\\
			$a^2=a^2\;+b^2\quad\Rightarrow\quad b=0\;(\dag)$.\\
			Dann w"urde das Rechteck zur Strecke entarten; ein solches Trapez gibt es nicht.
	\item	Es gilt:~~$\sphericalangle DCA=\varepsilon$~($Z$-Winkel). Weiter gilt:~~$\sphericalangle BAS=\psi=2\cdot\varepsilon$~($F$-Winkel).\\
			Ebenso folgt:~~$\varphi=90^\circ\;-2\,\varepsilon$~(Innenwinkelsumme im Dreieck~$SCB'$).\\
			Damit das Trapez~$ACB'D$ zum Rechteck wird, muss~~$\varphi\;+\varepsilon=90^\circ$~~gelten.\\
			Das bedeutet:~~$90^\circ\;-2\,\varepsilon\;+\varepsilon=90^\circ\quad\iff\quad\varepsilon=0^\circ$.\\
			Wieder w"urde das Rechteck zur Strecke entarten; d.\,h. ein solches Trapez gibt es nicht. 
	\end{enumerate}
}
