%
\ANG
{	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh136mn_a1.1}
    \end{center}
	Das Viereck~$ABCD$ ist ein Quadrat mit der Seitenl"ange~$a$.
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur $~a=6\,cm~$ und $~|\overline{PB}|=2{,}5\,cm$\,!
	\item 	Begr"unde ohne Messung, dass die Diagonale~$\overline{DP}$\\
			keine Symmetrie\-achse im Viereck~$APQD$ ist!
	\item 	Begr"unde:~~Die beiden Dreiecke~$PBC$ und $DQC$ sind zueinander "ahnlich!
	\item 	Berechne den prozentualen Anteil der Fl"ache des Vierecks~$APQD$ an der Fl"ache des Quadrates~$ABCD$\,!
			Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh136mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Die Kathete~$\overline{AD}$ im rechtwinkligen Dreieck~$APD$ besitzt die L"ange~$a$.
			Die Hypotenuse~$\overline{DC}$ im rechtwinkligen Dreieck~$DQC$ hat ebenfalls die L"ange~$a$.
			Weil aber in jedem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die l"angste Seite darstellt, gilt: $~|\overline{DQ}|<a=|\overline{AD}|$.
			Somit kann die Diagonale~$\overline{DP}$ im Viereck~$APQD$ keine Symmetrieachse dieses Vierecks sein.
	\item	In den beiden rechtwinkligen Dreiecken~$DQC$ und $PBC$ gilt: $~\varphi_1=\varphi_2~$ ($Z$-Winkel).
			Damit stimmen die beiden Dreiecke paarweise in zwei und somit in allen drei Innen\-winkel\-ma"sen "uberein.
			Also gilt: $~\Delta\,PBC\,\sim\,\Delta\,DQC$.
	\item 	Strategie: $~A_{APQD}=A_{ABCD}\;-(A_{\Delta\,PBC}\;+A_{\Delta\,DQC})$.\\
			$A_{\Delta\,PBC}=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}5\,cm\cdot6\,cm=7{,}5\,cm^2$.\\
			Wegen~(c) folgt: $~A_{\Delta\,DQC}=k^2\cdot A_{\Delta\,PBC}~$ mit dem Streckungsfaktor~$k$.\\
			Mit $~k=\tfrac{|\overline{DC}|}{|\overline{PC}|}=\tfrac{6\,cm}{\sqrt{2{,}5^2\;+\,6^2}\,cm}=\frac{12}{13}\quad
			\Rightarrow\quad A_{\Delta\,DQC}=\left(\tfrac{12}{13}\right)^2\cdot7{,}5\,cm^2=\tfrac{144}{169}\cdot7{,}5\,cm^2$.\\
			$A_{APQD}=36\,cm^2\;-\left(7{,}5\,cm^2\;+\tfrac{144}{169}\cdot7{,}5\,cm^2\right)=36\,cm^2\;-\tfrac{313}{169}\cdot7{,}5\,cm^2$.\\
			$\frac{A_{APQD}}{A_{ABCD}}=\frac{6084\;-2347{,}5}{169\;\cdot\,36}=\frac{3736{,}5}{6084}\,\approx\,0{,}6142=61{,}42\,\%$.
	\end{enumerate}
}
