
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh047mn_a.1}
    \end{center}
    Das Dreieck~$ABC$ ist gleichseitig mit der Seitenl"ange~$a\,cm$. Die Punkte~$D$, $E$, $F$, $G$, $H$
	und $K$ dritteln jeweils die Dreiecksseite, auf der sie liegen.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur $a=7{,}5$\,!
	\item 	Begr"unde, dass die Punkte~$D$, $E$, $F$, $G$, $H$ und $K$ Scheitel von rechten Winkeln sind!
			Zeichne dazu den Mittelpunkt~$M$ der Basis~$\overline{AB}$ sowie die Gerade~$CM$ ein
			und vergleiche die Teilverh"altnisse auf den Strecken~$\overline{AM}$ und $\overline{AC}$\,!
	\item 	Berechne das Verh"altnis~$k_1$ der Fl"acheninhalte des sechs\-zackigen Sterns und des Dreiecks~$ABC$\,!
			~[\,Ergebnis: ~$k_1=\tfrac{4}{9}$\,]
	\item 	Begr"unde, dass das Verh"altnis~$k_2$ der Fl"achen\-inhalte des inneren Sechs\-ecks~$P_1$ bis $P_6$
			und des Dreiecks~$ABC$ halb so gro"s wie $k_1$ ist! Zeichne dazu im Sechseck geeignete Hilfs\-linien ein!
	\item	Konstruiere jeweils ein gleichseitiges Dreieck, das denselben Fl"acheninhalt
			\begin{itemize}
			\item	aufweist wie der sechszackige Stern!
			\item	aufweist wie das innere Sechseck~$P_1\ldots P_6$\,!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh047mn_l1.1}
            \end{center}
	\item	Die Gerade~$\overline{CM}$ ist eine Symmetrieachse des Dreiecks~$ABC$, die auf der Basis~$\overline{AB}$ senkrecht steht.
			Nun gilt ~$|\overline{AM}|=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{AB}|$~
			und ~$|\overline{DM}|=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot|\overline{AB}|=\frac{1}{2}\cdot|\overline{AD}|$,
			weil ja z.\,B. der Punkt~$D$ die Strecke~$\overline{AB}$ drittelt.
			Also teilt der Punkt~$D$ die Strecke~$\overline{AM}$ im Verh"altnis~$2:1$.
			Dasselbe Streckenverh"altnis erzeugt aber auch der Punkt~$H$ auf der Strecke $\overline{AC}$.
			Also sind die beiden Dreiecke~$AMC$ und $ADH$ zueinander "ahnlich
			$\Rightarrow ~~\overline{DH}\parallel\overline{MC}~~ \Rightarrow~~ \sphericalangle HDA=90^\circ$.
			Aus Symmetriegr"unden sind die Punkte~$E$, $F$, $G$, $H$ und $K$ ebenfalls Scheitel von rechten Winkeln.
	\item	Das Dreieck~$DBF$ ist rechtwinklig:
			~$|\overline{DF}|^2/cm^2=\left(\tfrac{2}{3}\,a\right)^2\;-\left(\tfrac{1}{3}\,a\right)^2=\tfrac{1}{3}\,a^2$.\\
			Die Dreiecke $DBF$, $HFC$ und $ADH$ sind kongruent $\Rightarrow\,|\overline{DF}|=|\overline{FH}|=|\overline{HD}|$.\\
			Die Dreiecke $EBG$, $KGC$ und $AEK$ sind kongruent $\Rightarrow\,|\overline{EG}|=|\overline{GK}|=|\overline{KE}|$.\\
			Also sind die beiden Dreiecke~$DFH$ und $EGK$ gleichseitig. Die sechs kleinen Dreiecke "uber den
			Sechsecksseiten~$\overline{P_1P}_2 \ldots \overline{P_6P}_1$ sind ebenfalls gleichseitig und kongruent.\\
			Das Sechseck~$P_1\ldots P_6$ ist damit regelm"a"sig.\\
			$A_{\triangle DFH}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,|\overline{DF}|\,^2=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\tfrac{1}{3}\,a^2\,cm^2=\tfrac{\sqrt{3}}{12}\,a^2\,cm^2$.
			Mit z.\,B. ~$|\overline{P_1P}_2|=\tfrac{1}{3}\,|\overline{DF}|$~ folgt:\\
			$A_{\triangle EP_2P_1}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\cdot A_{\triangle DFH}=\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{12}\,a^2\,cm^2=\frac{\sqrt{3}}{108}\,a^2\,cm^2$.\\
			Der Stern besteht z.\,B. aus den Dreieck~$DFH$, an das drei kleine Dreiecke vom Typ~$EP_2P_1$ angef"ugt worden sind:\\
			$A_{\mathrm{Stern}}=\tfrac{\sqrt{3}}{12}\,a^2\,cm^2\;+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{108}\,a^2\,cm^2=\tfrac{\sqrt{3}}{9}\,a^2\,cm^2$\\
			$k_1=\tfrac{A_{\mathrm{Stern}}}{A_{\triangle ABC}}=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{9}\,a^2\,cm^2\right):\left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2\,cm^2\right)=\tfrac{4}{9}$.
	\item	Die gesuchten Hilfslinen sind die Diagonalen des Sechsecks. Durch sie wird dieses Sechseck in sechs kongruente
			gleichseitige Dreiecke zerlegt.	Wenn Du diese sechs kongruenten gleichseitigen Dreieck nach au"sen klappst,
			hast du den Stern erzeugt. Also besteht der Stern insgesamt aus 12 solcher Dreiecke. Damit ist der Fl"acheninhalt
			des regelm"a"sigen Sechsecks~$P_1\ldots P_6$ im Inneren halb so gro"s wie der des Sterns: ~$k_2=0{,}5\cdot k_1=\tfrac{2}{9}$.\\
			{\bf Anmerkung:}\\
			Eine Begr"undung muss also nicht unbedingt rechnerisch erfolgen. Trotzdem kannst du auch wieder
			das Verh"altnis als Bruch von Fl"acheninhalten herleiten. Das ist aber umst"andlicher.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh047mn_l2.1}
            \end{center}
			\begin{itemize}
			\item	F"ur das gesuchte Dreieck~\GF{$\triangle^*$} mit der Seitenl"ange~$a^*\,cm$ gilt:\\
					$A_{\triangle^*}=A_{\mathrm{Stern}}=\tfrac{4}{9}\,A_{\triangle ABC}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^2A_{\triangle ABC}
					\quad\Rightarrow\quad a^*=\tfrac{2}{3}\,a$.\\
					Errichte also z.\,B. unter der Strecke~$\overline{DB}$ das gesuchte Dreieck~$DQB$\\
					mit der Seitenl"ange~$|\overline{DB}|=a^*\,cm$\,! (Siehe Zeichnung oben!)
			\item	F"ur das gesuchte Dreieck~\GF{$\triangle^{**}$} mit der Seitenl"ange~$a^{**}\,cm$ gilt:\\
					$A_{\triangle^{**}}=A_{\mathrm{Sechseck}}=\tfrac{2}{9}\,A_{\triangle ABC}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^2A_{\triangle ABC}
					\quad\Rightarrow\quad a^{**}=\tfrac{\sqrt{2}}{3}\,a$.\\
					Der Term~$\tfrac{\sqrt{2}}{3}\,a$ l"asst sich als Diagonalenl"ange eines Quadrates mit der Seiten\-l"ange~$\tfrac{1}{3}\,a$ deuten.
					In der Zeichnung oben ist das Dreieck~$AA^{**}D$ ein halbes Quadrat mit der Seitenl"ange $|\overline{AD}|=\tfrac{1}{3}\,a\,cm$.
					Damit hat die Diagonale~$\overline{AA^{**}}$ die L"ange~$\tfrac{\sqrt{2}}{3}\,a\,cm=a^{**}\,cm$.
					Also ist das Dreieck~$APA^{**}$ das gesuchte.
			\end{itemize}
			Das dunkel get"onte gleichseitige Dreieck $DQB$ hat somit den doppelten Fl"acheninhalt wie das hell get"onte Dreieck~$APA^{**}$.
	\end{enumerate}
}