%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09jo001mn_01.1} \includegraphics{09jo001mn_02.1}
    \end{center}
	Im Jahre~1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand~LINDE\-MANN, dass die Konstruktion einer Strecke mit
	der L"ange~$\pi\,LE$ nicht m"oglich ist, wenn man nur Zirkel und Lineal verwendet.
	Die Konstruktion einer solchen Streckenl"ange kann also mit Zirkel und Lineal nur n"aherungsweise erfolgen:\\
	Die L"angen der gef"arbten Strecken~$\overline{BC}$ und $\overline{CE}$ in den Figuren~$1$ und $2$ stellen zwei
	Ergeb\-nisse von N"aherungs\-konstruktionen einer Strecke mit der L"ange~$\pi\,LE$ dar, wobei aus Gr"unden
	der "Ubersichtlichkeit die Konstruktion rechter Winkel mit Zirkel und Lineal weggelassen worden ist.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item 	Berechne den N"aherungswert f"ur~$\pi$ in der Figur~$1$\,!
			\item 	Berechne die prozentuale Abweichung dieses N"aherungswertes\\
					vom Taschenrechnerwert f"ur~$\pi$ gerundet auf zwei Kommastellen!
			\end{itemize}
	\item	\begin{itemize}
			\item 	Berechne die Streckenl"ange~$|\overline{CE}|$ in der Figur~$2$\,!
			\item 	Vergleiche die beiden N"aherungen f"ur~$\pi$ in der Figur~$1$ und in der Figur~$2$\,!
			\item 	ARCHIMEDES benutzte f"ur~$\pi$ den Wert~$\tfrac{22}{7}$. Vergleiche diesen Wert\\
					mit~$\pi$ auf deinem Taschenrechner und mit dem Wert aus der Figur~$2$\,!
			\end{itemize}
	\item	Laut einem Tabellenwerk ist der "Aquatorradius~$r$ der Erde $6378{,}388\,km$ lang.
			Verwende f"ur die L"osung der folgenden Aufgaben immer nur drei Dezimale,
			da der Erd\-radius auch nur auf drei Komma\-stellen angegeben ist (warum eigentlich?)!
			\begin{itemize} 
			\item 	Berechne die "Aquatorl"ange~$l_1$ mit Hilfe des N"aherungswertes~$|\overline{CE}|$\,!
			\item 	Berechne die "Aquatorl"ange~$l_2$ mit Hilfe von~$\pi$ auf deinem Taschenrechner!
			\item 	Wie gro"s ist die Differenz dieser beiden Ergebnisse?
			\item	F"ur wie schwerwiegend h"altst du diesen Unterschied? Begr"unde!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Figur~$1$: ~$\pi\approx\sqrt{3^2\;+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}162\,277\,660\ldots$
			\item 	Taschenrechner: ~$\pi\approx 3{,}141\,592\,654\ldots$\\
					$\Rightarrow\quad\tfrac{3{,}162\,277\,660\;-\,3{,}141\,592\,654}{3{,}141\,592\,654}\approx0{,}0066=0{,}66\,\%$.
			\end{itemize}
	\item	\begin{itemize}
			\item	$\triangle BAC:\quad|\overline{AC}|=\sqrt{1^2\;+1^2}=\sqrt{2}$\\
					$\triangle ADC:\quad|\overline{AD}|=|\overline{AE}|=\sqrt{\sqrt{2\,}\,^2\;+1^2}=\sqrt{3}$\\
					Also: ~$\pi\approx\sqrt{2}\;+\sqrt{3}\approx3{,}146\,264\,370\ldots$.
			\item	Beim N"aherungswert f"ur~$\pi$ in der Figur~$1$ stimmt die erste Kommastelle\\
					und in der Figur~$2$ sind die ersten zwei Kommastellen richtig.
			\item	ARCHIMEDES: ~$\tfrac{22}{7}=3{,}142\,857\,143\ldots$\\
					Taschenrechner: ~~\;$\pi=3{,}141\,592\,654\ldots$\\
					Figur~$2$: ~~\;$\sqrt{2}\;+\sqrt{3}=3{,}146\,264\,370\ldots$.
			\end{itemize}
	\item   \begin{itemize}
			\item	$l_1=2\cdot6378{,}388\,km\cdot3{,}146\approx40\,132{,}817\,km$
			\item 	$l_2=2\cdot6378{,}388\,km\cdot3{,}142\approx40\,081{,}790\,km$
			\item 	$\Delta l\approx51\,km$.
			\item 	Der Unterschied ist praktisch bedeutungslos, weil der Erd"aquator nur n"aherungs\-weise
					eine Kreis\-line darstellt. Au"serhalb der Meeres\-oberfl"ache f"uhrt die "Aquator\-line z.\,B.
					in Ecuador in S"ud\-amerika "uber die Anden\-kette hinweg oder in Kenia in Afrika dicht an dem
					"uber $5\,km$ hohen Mount Kenia vorbei. Auch die Ozeane bilden keine einheitliche Oberfl"ache.
					Der Meeresspiegel variiert global in seiner H"ohe bis zu $200\,m$.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}