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\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh122mn_a1.1}
    \end{center}
	Das gleichschenklige Trapez~$ABCD$ ist aus drei kongruenten gleichseitigen Dreiecken mit der jeweiligen Seitenl"ange
	von $a\,cm$	zusammengef"ugt worden. Das gleichseitige Dreieck~$PQR$ mit der Seitenl"ange~$x\,cm$ soll den gleichen Umfang
	wie dieses Trapez besitzen.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeige, dass dann ~$x=\frac{5}{3}\,a$~ gilt!
	\item 	Berechne das Verh"altnis der Fl"acheninhalte vom Trapez zum Dreieck!
	\item 	Um wie viel Prozent ist der Fl"acheninhalt des Trapezes~$ABCD$\\
			gr"o"ser als der des Dreiecks~$PQR$\,?
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Gleicher Umfang: ~$5\,a=3\,x\quad\iff\quad x=\tfrac{5}{3}\,a$.
	\item 	Mit ~$A_{\mathrm{Trapez}}=3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2=\tfrac{3}{4}\,\sqrt{3}\,a^2$ ~und~
			$A_{\triangle\,PQR}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,x^2=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\left(\tfrac{5}{3}\,a\right)^2=\tfrac{25}{36}\,\sqrt{3}\,a^2$\\
			$\Rightarrow\quad\D\frac{A_{\mathrm{Trapez}}}{A_{\triangle\,PQR}}=\D\frac{\tfrac{3}{4}\,\sqrt{3}\,a^2}{\tfrac{25}{36}\,\sqrt{3}\,a^2}
			=\D\frac{3}{4}\cdot\D\frac{36}{25}=\D\frac{108}{100}=1{,}08=108\,\%$.
	\item 	Nach L"osung~(b) folgt: ~$A_{\triangle\,PQR}\,\mathbin{\widehat{=}}\,100\,\%$ ~und~ $A_{\mathrm{Trapez}}\,\mathbin{\widehat{=}}\,108\,\%$.\\
			Demnach besitzt das Trapez $8\,\%$ mehr Fl"ache als das Dreieck.
	\end{enumerate}
}