%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh144mn_a1.1}
    \end{center}
	Vom Quadrat~$ABCD$ sind die Eckpunkte~$B$ und $D$ die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen~$\stackrel{\frown}{QP}$ und $\stackrel{\frown}{SR}$.
	\begin{enumerate}
		\item	Zeichne die Figur f"ur ~$|\overline{AB}|=6\,cm$\,!
		\item 	Begr"unde, dass das Viereck~$PQRS$ ein Rechteck ist!
		\item 	Wie viel Prozent des Fl"acheninhaltes nimmt das Rechteck~$PQRS$\\
				vom Quadrat~$ABCD$ ein? Runde das Ergebnis auf zwei Kommastellen!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh144mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Die beiden gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke~$PBQ$ und $SRD$ besitzen jeweils bei den spitzen Innenwinkel das Ma"s $45^\circ$.
			Weiter ist $|\overline{CQ}|=|\overline{BC}|\;-|\overline{BQ}|=|\overline{DC}|\;-|\overline{DR}|=|\overline{CR}|$, weshalb auch das Dreieck~$RQC$
			gleich\-schenklig-recht\-winklig mit $\varphi=45^\circ$ ist.
			Am Punkt~$Q$ gilt somit~$45^\circ\;+\psi\;+45^\circ=180^\circ$, woraus $\psi=90^\circ$ folgt.
			Aus Symmetrie\-gr"unden sind dann auch die drei restlichen Innenwinkel des Rechtecks~$PQRS$ rechte Winkel.
	\item 	Eine m"ogliche Strategie: ~$A_{PQRS}=A_{ABCD}\;-2\,\left(A_{\triangle\,PBQ}\;+A_{\triangle\,RQC}\right)$\\
			$A_{\triangle\,PBQ}=\tfrac{1}{2}\,|\overline{QB}|^2=\tfrac{1}{2}\cdot\left(3\,\sqrt{2}\right)^2cm^2=9\,cm^2$.\\
			$A_{\triangle\,RQC}=\tfrac{1}{2}\,|\overline{QC}|^2=\tfrac{1}{2}\cdot\left(6\;-3\,\sqrt{2}\right)^2cm^2=(27\;-18\,\sqrt{2})\,cm^2$.\\
			$A_{PQRS}=36\,cm^2\;-2\cdot\left(9\,cm^2\;+(27\;-18\,\sqrt{2})\,cm^2\right)=36\,(\sqrt{2}\;-1)\,cm^2$\,.\\
			$\D\frac{A_{PQRS}}{A_{ABCD}}=\D\frac{36\,(\sqrt{2}\;-1)\,cm^2}{36\,cm^2}=\sqrt{2}\;-1\approx0{,}4142=41{,}42\,\%$.
	\end{enumerate}
}