%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh203mn_a.1}
    \end{center}
    Ins Quadrat~$ABCD$ ist das regelm"a"sige Achteck~$PQRSTUVW$ einbeschrieben.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$|\overline{AC}|=6\,cm$\,!
	\item 	Berechne den Umfang~$u_8$ dieses regelm"a"sigen Achtecks~$PQRSTUVW$\,!\\
			Runde dein Ergebnis auf zwei Dezimale!
	\item 	Berechne in Prozent den Fl"achenanteil, den das Achteck von der Quadrat\-fl"ache\\
			belegt!	Runde dein Ergebnis auf zwei Kommastellen!
	\end{enumerate}    
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh203mn_l1.1}
			\end{center}
			Den Mittelpunktswinkel~$\varphi=360^\circ:8=45^\circ$ besitzen alle kongruenten Teildreiecke des Achtecks.
			Aus Symmetrie\-gr"unden gilt dann $\psi=45^\circ:2=22{,}5^\circ$.\\
			Damit entsteht die Figur so, wie sie in der Angabe dargestellt ist.
	\item 	Es sei ~$|\overline{RQ}|=x\,cm$. Das Dreieck~$MBC$ ist als halbes Quadrat gleich\-schenklig-recht\-winklig mit ~$|\overline{BC}|=3\,\sqrt{2}\,cm$.
			Das gleich\-schenklig-recht\-winklige Dreieck~$QBR$ ist auch ein halbes Quadrat	mit ~$|\overline{RB}|=\tfrac{1}{2}\,\sqrt{2}\,x\,cm=|\overline{SC}|$.\\
			Aus ~~$|\overline{BC}|=2\cdot|\overline{RB}|\;+|\overline{RS}|$~~ folgt ~~$3\,\sqrt{2}=\sqrt{2}\,x\;+x~~|\,^{:\,(\sqrt{2}\;+1)}$\\
			$\iff~~x=\tfrac{3\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\;+1}=\tfrac{3\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\;+1}\cdot\tfrac{\sqrt{2}\;-1}{\sqrt{2}\;-1}
			=\tfrac{6\;-3\,\sqrt{2}}{1}=3\,(2\;-\sqrt{2}).\quad${\bf (*)}\\
			Dann ist ~$u_8=8\cdot x\,cm=24\,(2\;-\sqrt{2})\,cm\approx14{,}06\,cm$.
	\item	Berechne zun"achst den Fl"acheninhalt eines Teildreiecks z.B. $\triangle MQR$\,:\\
			$A_{\triangle MQR}=0{,}5\cdot|\overline{RQ}|\cdot|\overline{MF}|$ ~mit~ 
			$|\overline{MF}|=|\overline{MB}|\;-|\overline{FB}|=|\overline{MB}|\;-0{,}5\,|\overline{RQ}|$,\\
			da das Dreieck~$QBR$ gleichschenklig-rechtwinklig ist.\\
			\begin{tabular}{rcl}
				$\Rightarrow~~A_{\triangle\,MQR}/cm^2$	&$=$	&$0{,}5\cdot x\cdot(3\;-0{,}5\,x)~~=~~1{,}5\,x\;-0{,}25\,x^2$\\
				{\scriptsize mit {\bf(*)} aus (b)}		&$=$	&$4{,}5\,(2\;-\sqrt{2})\;-2{,}25\,(2\;-\sqrt{2})^2$\\
														&$=$	&$4{,}5\,(2\;-\sqrt{2})\cdot\left(1\;-0{,}5\,(2\;-\sqrt{2})\right)$\\
														&$=$	&$4{,}5\,(2\;-\sqrt{2})\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}$\\
														&$=$	&$4{,}5\,(\sqrt{2}\;-1)$.
			\end{tabular}\\
			$A_{PQRSTUVW}=8\cdot A_{\triangle MQR}=8\cdot4{,}5\,(\sqrt{2}\;-1)\,cm^2=36\,(\sqrt{2}\;-1)\,cm^2$.\\
			$\frac{A_{PQRSTUVW}}{A_{ABCD}}=\frac{36\,(\sqrt{2}\;-1)\,cm^2}{18\,cm^2}=2\,(\sqrt{2}\;-1)\approx0{,}8284\approx82{,}84\,\%$.
	\end{enumerate}
}