%
\ANG
{
	Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck~$ABC$ mit\\
	den Kathetenl"angen~$~|\overline{AB}|=6\,cm~$ und $~|\overline{BC}|=4\,cm$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne dieses Dreieck, so dass die Kathete~$\overline{AB}$ waagrecht liegt!
	\item	Punkte~$P_n$ und $Q_n$ wandern jeweils gleichzeitig auf einer der Katheten~$\overline{AB}$ und $\overline{BC}$,
			wobei $~P_n\in\overline{AB}~$ und $~Q_n\in\overline{BC}~$ sowie $~|\overline{AP_n}|=|\overline{BQ}_n|=x\,cm~$ gilt.\\
			Dadurch entstehen Vierecke $AP_nQ_nC$.\\
			Zeichne f"ur $~x=1{,}5~$ das Viereck~$AP_1Q_1C$ ein!
	\item	Gib die Menge aller m"oglichen Belegungen von $x$ an!
	\item	Unter allen Vierecken~$AP_nQ_nC$ gibt es das Trapez~$AP_2Q_2C$\,:
			\begin{itemize}
			\item	Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$\,! [ Ergebnis:~~$x=2{,}4$ ]
			\item 	Zeichne dieses Trapez in anderer Farbe ein!
			\item 	Berechne den Fl"acheninhalt dieses Trapezes!\\
					{\bf Tipp:} Berechne zun"achst den Fl"acheninhalt des Dreiecks~$P_2BQ_2$\,!
			\item	Berechne die H"ohe~$h$ dieses Trapezes~$AP_2Q_2C$\,!\\
					Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma!
			\end{itemize}
	\item	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A\,(x)$ der Vierecke~$AP_nQ_nC$
			in Abh"angigkeit von $x$ gilt:~~$A\,(x)=(0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+12)\,cm^2$\,!
	\item	Unter allen Vierecken~$AP_nQ_nC$ gibt es das Viereck~$AP_2Q_2C$ mit minimalen Fl"acheninhalt.
			Berechne dieses Minimum und die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Untersuche, ob es unter den Vierecken~$AP_nQ_nC$ achsensymmetrische gibt!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh132mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	Siehe Zeichnung!
	\item	Auf der Kathete~$\overline{BC}$ kann $x$ nicht l"anger als $4\,cm.$ werden.\\
			F"ur $x=0$ und $x=4$ gibt es kein Viereck. Also:~~$x\in\;]\,0;\;4\,[_{\RR}$\,.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Ein Viereck, darf sich dann Trapez nennen, wenn es zwei parallele Seiten besitzt.
					In der Zeichnung ist das Trapez~$AP_2Q_2C$ vorhanden. Du siehst, dass die Dreiecke~$P_2BQ_2$ und $ABC$
					dann zueinander "ahnlich sind. Wende den Vierstreckensatz an, wobei die Variable~$x$ mit eingebunden sein muss:\\
					$\tfrac{6\;-\,x}{x}=\tfrac{6}{4}\quad\iff\quad24\;-4\,x=6\,x\quad\iff\quad24=10\,x\quad\iff\quad x=2{,}4$.
			\item	Siehe Zeichnung!
			\item 	$A_{\Delta\,P_2BQ_2}=0{,}5\cdot3{,}6\,cm\cdot2{,}4\,cm=4{,}32\,cm^2$.\\
					$A_{\Delta\,ABC}=0{,}5\cdot6\,cm\cdot4\,cm=12\,cm^2$.\\
					$A_{AP_2Q_2C}=A_{\Delta\,ABC}\;-A_{\Delta\,P_2BQ_2}=12\,cm^2\;-4{,}32\,cm^2=7{,}68\,cm^2$.
			\item 	$|\overline{AC}|=\sqrt{6^2\;+4^2\,}\,cm=\sqrt{52}\,cm\approx7{,}21\,cm$.\\
					$|\overline{P_2Q_2}|=\sqrt{3{,}6^2\;+2{,}4^2\,}=\sqrt{18{,}72\phantom{|}}\,cm\approx4{,}33\,cm$.\\
					$A_{AP_2Q_2C}=0{,}5\,(\sqrt{52}\,cm\;+\sqrt{18{,}72\phantom{|}}\,cm)\cdot h=7{,}68\,cm^2\quad\Rightarrow\quad h\,\approx1{,}33\,cm$.
			\end{itemize}
	\item 	$A\,(x)=A_{AP_nQ_nC}=0{,}5\cdot|\overline{AB}|\cdot|\overline{BC}|\;-0{,}5\cdot|\overline{P_nB}|\cdot|\overline{BQ}_n|$\\
			$\phantom{A\,(x)}=12\,cm^2\;-0{,}5\cdot(6\;-x)\,cm\cdot x\,cm=(12\;-3\,x\;+0{,}5\,x^2)\,cm^2$.\\
			Also gilt:~~$A\,(x)=(0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+12)\,cm^2$.
	\item	$A\,(x)=0{,}5\cdot(x^2\;-6\,x\;+3^2\;-9\;+24)\,cm^2$\\
			$\phantom{A\,(x)}=\left(0{,}5\,(x\;-3)^2\;+7{,}5\right)\,cm^2~$ liefert $~A_{min}=7{,}5\,cm^2~$ f"ur $~x=3$.
	\item	Die Symmetrieachse m"usste entweder durch zwei Eckpunkte des fraglichen Vierecks
			oder durch zwei seiner Seiten\-mittel\-punkte verlaufen. Der Verlauf durch zwei Eckpunkte
			ist offen\-sichtlich ausgeschlossen.
			Im anderen Fall m"usste die Spiegel\-achse die gemeinsame Mittel\-senkrechte zweier Viereck\-seiten sein.
			Diese Seiten m"ussten dann aber zueinander parallel sein. Also w"are das gesuchte achsen\-symmetrische
			Viereck ein gleich\-schenkliges Trapez.
			Da aber das einzige Trapez~$AP_2Q_2C$ mit $|\overline{AP_2}|=2{,}4\,cm\neq|\overline{CQ_2}|=1{,}6\,cm$ nicht gleichschenklig ist,
			gibt es unter allen Vierecken~$AP_nQ_nC$ kein achsensymmetrisches.
	\end{enumerate}
}
