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\ANG
{\mbox{}
	Das ist ein Bild der Nationalflagge der Tschechischen Republik.
    \begin{center}
		\EPSBASIS{09x5002mn1}{6cm}{}
    \end{center}
	Es gilt:~~$|\overline{AB}|=8\,cm$~~und~~$|\overline{AD}|=|\overline{EF}|=x\,cm$~~mit~~$x\in\RR^+$.\\
	{\bf Hinweis:} Alle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Kommastellen zu runden!
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur~~$x=4{,}5$\,!      
	\item	Berechne den Fl"acheninhalt~$A_T$ des Trapezes~$ABFE$ in Abh"angigkeit von~$x$\,!\\
			\centerline{[ Ergebnis:~~$A_T\,(x)=(0{,}25\,x^2\;+2\,x)\,cm^2$ ]}
	\item	Untersuche auf verschiedene Weise, ob es eine Belegung f"ur $x$ gibt, so dass
			der Fl"achen\-inhalt des Trapezes~$ABFE$ den Wert~$33\,cm^2$ annimmt!
	\item	Berechne $x$ so, dass die Inhalte aller drei Teilfl"achen
			im Inneren des Rechtecks~$ABCD$ gleich gro"s sind!
	\item	Berechne $x$ so, dass das Dreieck~$AED$ gleichseitig wird!
	\item	Berechne $x$ so, dass das Dreieck~$AED$ gleichschenklig-rechtwinklig wird!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	--
	\item	$A_T\,(x)=\frac{8\;+\,x}{2}\cdot\frac{x}{2}\,cm^2=\frac{x^2\;+\,8\,x}{4}\,cm^2=(0{,}25\,x^2\;+2\,x)\,cm^2$
	\item	1.~M"oglichkeit (m"uhsam):\\
			$0{,}25\,x^2\;+2\,x=33\quad\iff\quad0{,}25\,(x\;+4)^2=37\quad\iff\quad(x\;+4)^2=148$~(*)\\
			Wegen~~$x\in\RR^+$~~ist~(*) gleichwertig mit~~$x=2\,\sqrt{37}\;-4>8$,\\
			was wegen~~$|\overline{EF}|=x\,cm\;\le\;|\overline{AB}|=8\,cm$~~nicht geht.\\
			2. M"oglichkeit:\\
			Damit das Dreieck~$AED$ existiert, muss $x<8$ gelten. Das Trapez~$ABFE$ nimmt stets weniger als die H"alfte
			des Rechtecks~$ABCD$ ein. Also muss stets~~$A_T<32\,cm^2$ ~sein und damit kann dieser Fl"achen\-inhalt
			nicht gr"o"ser als $32\,cm^2$ (n"amlich $33\,cm^2$) werden.
	\item	Der Fl"acheninhalt des Rechtecks~$ABCD$ muss dreimal so gro"s sein wie der Fl"acheninhalt des Trapezes~$ABFE$:\\
			$3\cdot(0{,}25\,x^2\;+2\,x)=8\,x\quad\iff\quad0{,}75\,x^2\;-2\,x=0\quad\iff\quad x\,(0{,}75\,x\;-2)=0$\\
			$\Rightarrow\quad x=0~~\dag$~wegen~$x\in\RR^+\quad\vee\quad0{,}75\,x\;-2=0\quad\Rightarrow\quad x\approx2{,}67$.
	\item	Es muss gelten:~~$\frac{8\;-\,x}{0{,}5\,x}=\tan\,(60^\circ)=\sqrt{3}\quad\iff\quad x=\frac{16}{2\;+\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad x\approx4{,}29$.
	\item	Es muss gelten:~~$\frac{8\;-\,x}{0{,}5\,x}=\tan\,(45^\circ)=1\quad\iff\quad1{,}5\,x=8\quad\Rightarrow\quad x\approx5{,}33$.
	\end{enumerate}
}