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\ANG
{
	In das Bild von Englands rechteckiger Nationalflagge ist zus"atzlich noch das Viereck~$PQRS$
	eingezeichnet:
    \begin{center}
		\EPSBASIS{09jk002mn1}{6cm}{}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur~~$a=5$,~~$b=8$~~und~~$x=1$\,!
	\item	Begr"unde, dass das Viereck~$PQRS$ ein Parallelogramm ist! 
	\item 	Zeige, dass in Abh"angigkeit von~$a$, $b$ und $x$ f"ur den Fl"acheninhalt~$A_{PQRS}$\\
			der Vierecke $PQRS$ gilt: ~$A_{PQRS}\,(x)=0{,}5\,(a\,b\;-\,x^2)\,cm^2$~!
	\item	Begr"unde, dass f"ur alle $x\in\RR^+$ gilt:~~$A_{PQRS}\,(x)<0{,}5\cdot A_{ABCD}$\,!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	--
	\item	Mit $\Delta RQC\cong\Delta APS$ und $\Delta SRD\cong\Delta PBQ$ sind
			je zwei gegen"uber liegende Seiten des Vierecks~$PQRS$ gleich lang.
			Also handelt es sich um ein Parallelogramm.
	\item	Der gesuchte Fl"acheninhalt ergibt sich z.\,B. dadurch, dass man an den
			Ecken des Recht\-ecks~$ABCD$ die vier jeweils paarweise kongruenten
			rechtwinkligen Dreiecke abschneidet.\\
			Es gilt:~~$|\overline{RD}|=0{,}5\,(b\;-x)\,cm=|\overline{PB}|$ ~und~ $|\overline{SD}|=0{,}5\,(a\;-x)\,cm=|\overline{BQ}|$\\
			$\Rightarrow~A_{SRD}\;+A_{PBQ}=0{,}5\,(a\;-x)\cdot0,5\,(b\,-x)\,cm^2=0{,}25\,(x^2\;-a\,x\;-b\,x\;+a\,b)\,cm^2$.\\
			Auch gilt:~~$|\overline{RC}|=0{,}5\,(b\;+x)\,cm=|\overline{AP}|$ ~und~ $|\overline{CQ}|=0{,}5\,(a\;+x)\,cm=|\overline{AS}|$\\
			$\Rightarrow~A_{RQC}\;+A_{APS}=0{,}5\,(a\;+x)\cdot0{,}5\,(b\;+x)\,cm^2=0{,}25\,(x^2\;+a\,x\;+b\,x\;+a\,b)\,cm^2$.\\
			$\Rightarrow$\begin{tabular}[t]{l c l}
			$A_{PQRS}\,(x)/cm^2$&= &$a\,b\;-0{,}25\,(x^2\;-a\,x\;-b\,x\;+a\,b\;+x^2\;+a\,x\;+b\,x\;+a\,b)$\\
								&= &$1{,}0\,a\,b\;-0{,}5\,a\,b\;-0{,}5\,x^2$\\
								&= &$0{,}5\,(a\,b\;-x^2)$, was zu zeigen war.	    
			\end{tabular}
	\item	$A_{PQRS}\,(x)=0{,}5\,(a\,b\;-x^2)\,<\,0{,}5\cdot A_{ABCD}~\iff~a\,b\;-x^2\,<\,a\,b~\iff~0\,<\,x^2$\\
			ist f"ur alle~~$x\in\RR^+$~~immer wahr.
	\end{enumerate}
}
