%
%
\ANG
{
	Durch die Gleichungen~$g_1\mathord{:}~~y=-\tfrac{1}{3}\,x\;+2{,}5$~	und ~$g_2\mathord{:}~~y=\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5$~ 
	sind die Geraden~$g_1$ und $g_2$ gegeben.
	Punkte~$A_n(x\mid-\tfrac{1}{3}\,x\;+2{,}5)$ auf der Geraden~$g_1$ erzeugen zusammen mit Punkten~$C_n$
	auf der Geraden~$g_2$ ~Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ mit dem jeweiligen Mittelpunkt~$M_n$.
	Die Punkte~$A_n$ und $C_n$ haben dabei stets die gleiche Abszisse und die Diagonalen~$\overline{B_nD}_n$
	sind immer $4\,cm$ lang.
	\begin{enumerate}
    \item	\begin{itemize}
			\item	Zeichne die beiden Geraden~$g_1$ und $g_2$ und\\
					deren Schnittpunkt~$S$ in das Koordinatensystem!
            \item	Zeichne dort f"ur ~$x=6$~ die Raute~$A_1B_1C_1D_1$ und\\
					f"ur ~$x=-1,5$~ die Raute~$A_2B_2C_2D_2$ ein!
			\end{itemize}
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh023mn_a1.1}
			\end{center}
	\item 	F"ur welche Belegungen von~$x$ erh"alt man solche Rauten~$A_nB_nC_nD_n$?
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Zeige, dass man in Abh"angigkeit von $x$ die Diagonalenl"angen\\
					mit ~$|\overline{A_nC}_n|=|\,x\;-3\,|\,cm$~ erh"alt!
			\item 	Best"atige mit diesem Term das Ergebnis der Aufgabe~(b)\,!
			\end{itemize}
	\item 	Berechne $x$ so, dass die entsprechenden Rauten Quadrate sind!
	\item 	Unter allen Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ gibt es solche, deren Fl"acheninhalt\\
			$20\,cm^2$ betr"agt. Berechne die zugeh"origen $x$-Werte!
	\item 	Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte~$M_n$ in Abh"angigkeit von $x$\,!\\
			\centerline{$\left[\text{Ergebnis:}~M_n\left(x\mid\tfrac{1}{6}\,x\;+1\right)\,\right]$}
	\item 	Unter allen Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ gibt es eine Raute~$A_0B_0C_0D_0$, deren Mittelpunkt~$M_0$ dem
			Koordinaten\-ursprung am n"achsten liegt. Berechne den zuge\-h"origen $x$-Wert und die minimale Distanz!
	\item 	Bei der Raute~$A_3B_3C_3D_3$ liegt die Dia\-gonale~$\overline{B_3D}_3$ auf der $x$-Achse.
			Berechne die Koordinaten der Eckpunkte dieser Raute auf verschiedene Weise!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh023mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Wenn sich die Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ auf den Geradenschnittpunkt~$S$ zubewegen, 
			dann werden die Diagonalen~$\overline{A_nC}_n$ immer k"urzer. Im Schnittpunkt~$S$ selbst 
			entartet die betreffende \GF{Raute} zur Strecke. Aus der Zeichnung ergibt sich:~$S\,(3\mid1{,}5)$.\\
			"Uberpr"ufung mittels $g_1\cap g_2~\Rightarrow~-\tfrac{1}{3}\,x\;+2{,}5=\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5\quad\iff\quad x=3$.\\
			Also gibt es nur Rauten f"ur $x\in\,\RR\setminus\{3\}$.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Es gilt: ~$C_n(x\mid\frac{2}{3}\,x\;-0{,}5)$.\\
					$|\overline{A_nC}_n|(x)/cm=\sqrt{\D(x\;-x)^2\;+\left(\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5)\;-(-\tfrac{1}{3}\,x\;+2{,}5)\right)^2}=\sqrt{\D(x\;-3)^2}$\\
					$\Rightarrow\quad|\overline{A_nC}_n|(x)=|\,x\;-3\,|\,cm$ ~und nicht nur~ $(x\;-3)\,cm\,$!
			\item  	F"ur $x=3$ wird die Diagonalenl"ange~$0$. Also gibt es f"ur diesen $x$-Wert keine Raute.
			\end{itemize}
	\item 	Wenn eine der Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ zum Quadrat werden soll, m"ussen dessen Dia\-gonalen gleich lang sein.\\
			Also: ~$|\,x\;-3\,|=4\quad\iff\quad x\;-3=4~~\mbox{oder}~~x\;-3=-4\quad\Rightarrow\quad L=\{-1;\;7\}.$
	\item 	F"ur den Fl"acheninhalt~$A$ der Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
			$A(x)=\tfrac{1}{2}\cdot4\,\cdot|\,x\;-3\,|\,cm^2=2\cdot|\,x\;-3\,|\,cm^2$.\\
			Also: ~$2\,|\,x\;-3\,|=20\quad\iff\quad x\;-3=10~~\mbox{oder}~~x\;-3=-10\quad\Rightarrow\quad L=\{-7;\,13\}.$
	\item 	$M_n\left(\D\frac{x\;+x}{2}\,\middle|\,\D\frac{-\tfrac{1}{3}x\;+2{,}5\;+\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5}{2}\right)=(x\mid\tfrac{1}{6}\,x\;+1)$.
	\item 	F"ur die Entfernungen $\overline{OM}_n$ gilt in Anh"angigkeit von $x$:\\
			\begin{tabular}{c c l l}
			$|\overline{OM}_n|(x)^2/cm^2$	&=	&$x^2\;+\left(\tfrac{1}{6}\,x\;+1\right)^2$\\
											&= 	&$x^2\;+\tfrac{1}{36}\,x^2\;+\tfrac{1}{3}\,x\;+1$\\
											&= 	&$\tfrac{37}{36}\,x^2\;+\tfrac{1}{3}\,x\;+1$\\
											&=	&$\tfrac{37}{36}\left(x^2\;+\tfrac{12}{37}\,x\;+\left(\tfrac{6}{37}\right)^2-\tfrac{36}{1369}\right)\;+1$\\
											&= 	&$\tfrac{37}{36}\left(x\;+\tfrac{6}{37}\right)^2\;+\tfrac{36}{37}$\\
			$\Rightarrow~~|\overline{OM}_n|(x)$   		&= 	&$\sqrt{\tfrac{37}{36}\,\left(x\;+\tfrac{6}{37}\right)^2\;+\tfrac{36}{37}\,}\,cm$
			\end{tabular}\\
			F"ur~ $x=-\tfrac{6}{37}\approx-0{,}16$ ~ist~ $|\overline{OM}_0|=\sqrt{\tfrac{36}{37}}\,cm\approx0{,}99\,cm$ die k"urzeste Entfernung.
	\item 	1.~M"oglichkeit:\\    
			Wenn die Diagonale~$\overline{B_3D}_3$ auf der $x$-Achse liegt, dann liegt auch der zugeh"orige Mittelpunkt~$M_3$ auf ihr.
			Dann muss dessen $y$-Wert $0$ sein:\\
			$\tfrac{1}{6}\,x\;+1=0\quad\iff\quad x=-6\quad\Rightarrow A_3(-6\mid-\tfrac{1}{3}\,(-6)\;+2{,}5)=(-6\mid4{,}5)$.\\
			Weiter folgt: ~$C_3(-6\mid\tfrac{2}{3}\,(-6)\;-0{,}5)=(-6\mid-4{,}5)$.\\
			Der Punkt~$B_3$ liegt $2\,LE$ weiter links von $M_3$ auf der $x$-Achse $\Rightarrow~B_3(-8\mid0)$.\\
			Der Punkt $D_3$ liegt $2\,LE$ weiter rechts von $M_3$ auf der $x$-Achse $\Rightarrow~D_3(-4\mid0)$.\\
			~\\
			2.~M"oglichkeit:\\
			Wie du in der 1.~M"oglichkeit gesehen hast, muss die Symmetrieachse der Raute~$A_3B_3C_3D_3$ die $x$-Achse sein,
			denn die $y$-Werte der Punkte~$A_3$ und $C_3$ unterscheiden sich lediglich durch das Vorzeichen. Also kannst du jetzt z.\,B. ~$y_{C_n}=-y_{A_n}$~ ansetzen:\\
			$\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5=-\left(-\tfrac{1}{3}\,x\;+2{,}5\right)\quad\iff\quad\tfrac{2}{3}\,x\;-0{,}5=\tfrac{1}{3}\,x\;-2{,}5\quad\iff\quad x=-6$.\\
			Der Rest ist schon in der 1.~M"oglichkeit dargestellt.
	\end{enumerate}
}              
