%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh269mn_a2.1}
    \end{center}
	"Uber der Hypotenuse~$\overline{AC}$ des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks~$ABC$ liegt das Viereck~$ACDF$,
	das sich aus f"unf gleichseitigen Dreiecken mit der jeweiligen Seitenl"ange~$a\,cm$ zusammensetzt.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$a=3$\,!
	\item 	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A_1$ des Vierecks~$BHEG$\\
			in Abh"angigkeit von $a$ gilt: ~$A_1(a)=\tfrac{1}{4}\left(3\;+\sqrt{3}\right)a^2\,cm^2$\,!
	\item 	\begin{itemize}
            \item 	Begr"unde, dass die Vierecke~$ABGF$ und $BHEG$\\
					den gleichen Fl"achen\-inhalt besitzen!
			\item 	Begr"unde, dass das Viereck~$BHEG$ vom F"unfeck~$ABCDF$\\
					weniger als ein Drittel der Fl"ache bedeckt!
			\end{itemize}
	\item 	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A_2$ des F"unfecks~$ABCDF$\\
			in Abh"angigkeit von $a$ gilt: ~$A_2(a)=\tfrac{1}{4}\left(9\;+5\,\sqrt{3}\right)a^2\,cm^2$\,!
	\item 	Wie viel Prozent der Fl"ache des F"unfecks~$ABCDF$\\
			wird vom Viereck~$BHEG$ eingenommen?
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh269mn_l2.1}
			\end{center}
	\item 	Das Viereck~$BHEG$ ist ein achsensymmetrischer Drachen, der sich aus den beiden Dreiecken~$BHG$ und $GHE$ zusammensetzt.
			Der THALES-Halbkreis mit dem Durchmesser~$\overline{AC}$ und dem Radius~$r$ macht deutlich,
			dass ~$|\overline{AM}|=|\overline{MB}|=1{,}5\,a\,cm$~ gilt.\\
			$A_1(a)/cm^2=\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot 1{,}5\,a\;+\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2
			=\tfrac{3}{4}\,a^2\;+\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2=\tfrac{1}{4}\left(3\;+\sqrt{3}\right)a^2$.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Die Dreiecke~$AGF$ und $GHE$ sind kongruent und damit fl"achengleich.
					Die beiden Dreiecke~$ABG$ und $BHG$ haben mit~$|\overline{AG}|=|\overline{GH}|$ gleich lange Grundlinien.
					Der Kreis\-radius~$r$ stellt die gemeinsame H"ohe auf diese beiden Grundlinien dar
					(im Dreieck~$ABG$ liegt diese H"ohe au"serhalb).
					Also sind beide Dreiecke und somit auch die beide Vierecke fl"achengleich.
			\item 	Die beiden Vierecke~$ABGF$ und $BCDH$ sind aus Symmetrie\-gr"unden kongruent, also fl"achengleich.
					Daher sind im F"unfeck~$ABCDF$ drei Vierecke von der Gr"o"se des Vierecks~$BHEG$ und zus"atzlich
					noch die beiden gleichseitigen Dreiecke~$EFG$ und $DEH$ enthalten.
					Also bedeckt das Viereck~$BHEG$ weniger als ein Drittel der Fl"ache des F"unfecks~$ABCDF$.
			\end{itemize}
	\item	$A_2(a)/cm^2=\tfrac{1}{2}\cdot3\,a\cdot1{,}5\,a\;+5\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2=\tfrac{1}{4}\left(9\;+5\,\sqrt{3}\right)a^2$.
	\item 	$\frac{A_1(a)}{A_2(a)}=\frac{3\;+\,\sqrt{3}}{9\;+\,5\sqrt{3}}\approx26{,}79\,\%$.\\
			Das Viereck~$BHEG$ bedeckt also etwas mehr als ein Viertel der F"unfecksfl"ache.
	\end{enumerate}
}