%
%
\ANG
{	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh094mn.1}
    \end{center}
	Dem gleichschenkligen Dreieck~$ABC$ mit ~$|\overline{AB}|=6\,cm$~ werden Recht\-ecke~$P_nQ_nR_nS_n$	mit
	~$|\overline{P_nQ}_n|=x\,cm$~ so einbeschrieben, wie es f"ur ~$x=1{,}6$~ das Rechteck~$P_1Q_1R_1S_1$
	der Darstellung zeigt.
	\begin{enumerate}
	\item 	F"ur welche Belegungen von~$x$ gibt es solche Rechtecke~$P_nQ_nR_nS_n$?
	\item 	Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Rechtecke~$P_nQ_nR_nS_n$ in Abh"angigkeit von~$x$ gilt:
			~$A\,(x)=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\left(-2\,x^2\;+12\,x\right)\,cm^2$\,!
	\item 	Zeige: ~$\D\frac{A\,(x)}{A_{\triangle\,ABC}}=-\tfrac{1}{18}\,x^2\;+\tfrac{1}{3}\,x$\,!
	\item 	Die Rechtecke~$P_2Q_2R_2S_2$ und $P_3Q_3R_3S_3$ nehmen $32\,\%$ des Fl"achen\-inhalts\\
			vom Dreieck~$ABC$ ein. Berechne die zugeh"origen $x$-Belegungen!
	\item 	Unter allen Rechtecken~$P_nQ_nR_nS_n$ gibt es das Quadrat~$P_0Q_0R_0S_0$.
			\begin{itemize}    
			\item 	Zeichne dieses Quadrat farbig ein!
			\item 	Untersuche, ob unter den Rechtecken~$P_nQ_nR_nS_n$\\
					das Quadrat~$P_0Q_0R_0S_0$ das fl"achen\-gr"o"ste ist!\\
			\end{itemize}
	\end{enumerate} 
}
  
\LSG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh094mn_l.1}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	$x\in\,]\,0;\;6\,[\,_{\RR}$
	\item 	In diesem Fall geht es auch ohne Vierstreckensatz, da die beiden rechtwinkligen Dreiecke~$AP_nS_n$
			und $Q_nBR_n$ sich zu einem gleich\-seitigen Dreieck mit der Seiten\-l"ange~$(6\;-x)\,cm$ zusammenf"ugen lassen.\\
			Dann gilt: ~~$A\,(x)\,=A_{\triangle\,ABC}\;-2\,A_{\triangle\,AP_nS_n}\;-A_{\triangle\,S_nR_nC}$\\
            $\phantom{Dann gilt: ~A\,(x)~}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\left(6^2\;-(6\;-x)^2\;-x^2\right)\,cm^2$\\
		    $\phantom{Dann gilt: ~A\,(x)~}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\left(36\;-36\;+12\,x\;-x^2\;-x^2\right)\,cm^2$\\
	        $\phantom{Dann gilt: ~A\,(x)~}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\left(-2\,x^2\;+12\,x\right)\,cm^2$.
	\item 	$\D\frac{A\,(x)}{A_{\triangle\,ABC}}=\tfrac{0{,}25\,\sqrt{3}\,\left(-2\,x^2\;+12\,x\right)}{0{,}25\,\sqrt{3}\,\cdot\,6^2}
			=\tfrac{1}{36}\left(-2\,x^2\;+12\,x\right)=-\tfrac{1}{18}\,x^2\;+\tfrac{1}{3}\,x$.
	\item 	Es gilt: ~$-\tfrac{1}{18}\,x^2\;+\tfrac{1}{3}\,x=0{,}32~~|^{\cdot18}$\\
			$~\iff\quad-x^2\;+6\,x\;-5{,}76=0\quad\Rightarrow\quad x_1=1{,}2$ ~und~ $x_2=4{,}8$.
	\item 	\begin{itemize}    
			\item 	Zeichne zun"achst ein Probequadrat, wie z.\,B. das Quadrat $ABDE$ der Zeichnung!\\
					Weil alle Quadrate und damit alle halben Quadrate zueinander "ahnlich sind, muss
					z.\,B. der gesuchte Punkt~$S_0$ der Schnittpunkt der Strecken~$\overline{AC}$ und $\overline{EO}$ sein.
					Die Lage der restlichen gesuchten Punkte ist dann klar.
			\item 	Die Dreiecke~$ABC$ und $S_nR_nC$ sind zueinander "ahnlich. Also gilt:\\
					$\D\frac{|\overline{S_nR}_n|}{|\overline{AB}|}=\D\frac{|\overline{CF}|}{|\overline{CO}|}
					~\iff~\D\frac{x}{6}=\tfrac{3\sqrt{3}\;-x}{3\sqrt{3}}
					~\iff~x=\tfrac{6\sqrt{3}}{2\;+\sqrt{3}}=12\sqrt{3}\;-18\approx2{,}78$.\\
					Andererseits gilt nach~(b): ~$A\,(x)/cm^2=-0{,}5\,\sqrt{3}\,\left(x\;-3\right)^2\;+4{,}5\,\sqrt{3}$.\\
					Einerseits betr"agt die Seitenl"ange des Quadrates~$P_0Q_0R_0S_0\approx2{,}78\,cm$.\\
					Andererseits betr"agt eine Seitenl"ange des maximalen Rechtecks~$3\,cm$.\\
					Also ist das Rechteck mit maximalem Fl"acheninhalt kein Quadrat.
			\end{itemize}
	\end{enumerate} 
}