%
%
\ANG
{
	Dem Rechteck~$PQRS$ mit den Seitenl"angen~$|\overline{PQ}|=8\,cm$ und $|\overline{QR}|=6\,cm$ werden Dreiecke~$PA_nB_n$
	mit ~$A_n\in\overline{QR}$~ und ~$B_n\in\overline{RS}$ ~sowie~ $|\overline{QA}_n|=|\overline{SB}_n|=x\,cm$ einbeschrieben.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne das Rechteck~$PQRS$ und f"ur ~$x=2$~ das Dreieck~$PA_1B_1$\,!
	\item 	F"ur welche Belegungen von $x$ gibt es solche Dreiecke~$PA_nB_n$\,?
	\item 	Zeige, das allgemein f"ur den Fl"acheninhalt~$A$ der Dreiecke~$PA_nB_n$\\
			in Abh"angigkeit von~$x$ gilt: ~$A(x)=(-0{,}5\,x^2\;+24)\,cm^2$\,!
	\item 	Vom Rechteck~$PQRS$ bedeckt das Dreieck~$PA_2B_2$\\
			$34{,}64\,\%$ der Fl"ache. Berechne die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Unter allen Dreiecken~$PA_nB_n$ gibt es das rechtwinklige Dreieck~$PA_3B_3$\\
			mit der Hypotenuse~$\overline{PA}_3$. Berechne $x$\,!
	\item 	Berechne die $x$-Belegung des gleichschenkligen Dreiecks~$PA_4B_4$\\
			mit der Basis~$\overline{PB}_4$\,!
	\end{enumerate} 
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh095mn_l.1}
			\end{center}
	\item 	$x\in D=[\,0;\;6\,]\,_{\RR}$
	\item	$A\,(x)=A_{PQRS}\;-A_{\triangle\,PQA_n}\;-A_{\triangle\,RB_nA_n}\;-A_{\triangle\,SPB_n}$\\
            $\phantom{A\,(x)}=\left(48\;-0{,}5\cdot8\cdot x\;-0{,}5\cdot(8\;-x)\cdot(6\;-x)\;-0{,}5\cdot6\cdot x\right)\,cm^2$\\
		    $\phantom{A\,(x)}=\left(48\;-4\,x\;-24\;+4\,x\;+3\,x\;-0{,}5\,x^2\;-3\,x\right)\,cm^2$\\
	        $\phantom{A\,(x)}=\left(-0{,}5\,x^2\;+24\right)\,cm^2$.      
	\item 	$-0{,}5\,x^2\;+24=0{,}3464\cdot48\quad\Rightarrow\quad x=3{,}84$.
	\item   \begin{tabular}[t]{lrcll}
					&$|\overline{PA}_n|^2$	&$=$	&$|\overline{A_nB}_n|^2\;+|\overline{PB}_n|^2$	&$|^{:\,cm^2}$\\
            $\iff$	&$8^2\;+x^2$			&$=$	&$(6\;-x)^2\;+(8\;-x)^2\;+6^2\;+x^2$			&$|^{-x^2\;-64}~|^{:\,2}$\\
            $\iff$	&$0$					&$=$	&$x^2\;-14\,x\;+36$								&
			\end{tabular}\\
			$\Rightarrow\quad x_1=7\;+\sqrt{13}\approx10{,}61\notin D\quad$ und $\quad x_2=7\;-\sqrt{13}\approx3{,}39\,\in D$\\
			$\Rightarrow\quad x=7\;-\sqrt{13}$. ~Siehe \GF{rotes} Dreieck!
	\item   \begin{tabular}[t]{lrcll}
					&$|\overline{PA}_n|^2$	&$=$	&$|\overline{A_nB}_n|^2$	&$|^{:\,cm^2}$\\
            $\iff$	&$8^2\;+x^2$			&$=$	&$(6\;-x)^2\;+(8\;-x)^2$	&$|^{-x^2\;-64}$\\
            $\iff$	&$0$					&$=$	&$x^2\;-28\,x\;+36$								&
			\end{tabular}\\
			$\Rightarrow\quad x_1=14\;+4\,\sqrt{10}\approx26{,}65\notin D\quad$ und $\quad x_2=14\;-4\,\sqrt{10}\approx1{,}35\,\in D$\\
			$\Rightarrow\quad x=14\;-4\,\sqrt{10}$. ~Siehe \GF{blaues} Dreieck!
	\end{enumerate} 
}