%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh106mn_a.1}
    \end{center}
	In das Quadrat~$ABCD$ mit~$|\overline{AB}|=8\,cm$ werden Trapeze~$P_nQ_nR_nS_n$ wie oben dargestellt ein\-beschrieben,
	wobei ~$|\overline{CR}_n|=|\overline{CS}_n|=x\,cm$~ und ~$|\overline{AP}_n|=|\overline{AQ}_n|=2\,x\,cm$ gilt.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne das Quadrat~$ABCD$ und f"ur ~$x=2{,}5$~ das Trapez~$P_1Q_1R_1S_1$\,!
	\item 	F"ur welche Belegungen von~$x$ existieren solche Trapeze~$P_nQ_nR_nS_n$\,? 
	\item 	Zeige durch Rechnung, dass f"ur $x=2\tfrac{2}{3}$ die Diagonale~$\overline{Q_2S}_2$	im Trapez~$P_2Q_2R_2S_2$ parallel
			zur Quadratseite~$\overline{BC}$ liegt und senkrecht zur Diagonale~$\overline{P_2R}_2$ verl"auft!
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt~$A$ der Trapeze~$P_nQ_nR_nS_n$ in Abh"angigkeit von $x$,\\
			indem du von der Quadratfl"ache bestimmte Teilfl"achen subtrahierst!\\
			\centerline{[Ergebnis:$ ~A\,(x)=(-4{,}5\,x^2\;+24\,x)\,cm^2\,]$}
	\item 	Zeige durch Rechnung, dass von allen Trapezen~$P_nQ_nR_nS_n$ das Trapez~$P_2Q_2R_2S_2$
			das fl"achen\-gr"o"ste ist und dann $50\,\%$ der Quadratfl"ache einnimmt.
	\item 	Untersuche auf verschiedene Weise, ob es ein Trapez~$P_3Q_3R_3S_3$ mit einem Fl"acheninhalt von~$41{,}07\,cm^2$ gibt!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh106mn_l.1}
			\end{center}
	\item 	Es muss gelten: ~$2\,x\le8\quad\Rightarrow\quad x\in\;]0;\;4]_{\RR}$. 
	\item	Es muss gelten: ~$|\overline{BQ}_2|=|\overline{CS}_2|\quad\iff\quad8\;-2\,x=x\quad\iff\quad x=\tfrac{8}{3}$.\\
			Alle Trapeze~$P_nQ_nR_nS_n$ besitzen die Gerade~$AC$ als Symmetrieachse. Sie schlie"st mit
            den Quadrat\-seiten jeweils einen $45^\circ$-Winkel ein. Wenn $\overline{Q_2S}_2$ an $AC$ gespiegelt wird,
			dann erh"altst du die Diagonale~$\overline{P_2R}_2$, die dann parallel zu $\overline{AB}$ liegt.
			Also gilt: ~$\overline{P_2R}_2\,\perp\,\overline{Q_2S}_2$.
	\item 	\begin{tabular}[t]{rcl}
				$A\,(x)$	&$=$	&$A_{ABCD}\;-A_{\triangle\,AQ_nP_n}\;-2\,A_{\triangle\,BR_nQ_n}\;-A_{\triangle\,CS_nR_n}$\\
							&$=$ 	&$\left(8\cdot8\;-0{,}5\,(2\,x)^2\;-(8\;-2\,x)\,(8\;-x)\;-0{,}5\,x^2\right)\,cm^2$\\
							&$=$	&$\left(64\;-2\,x^2\;-64\;+8\,x\;+16\,x\;-2\,x^2\;-0{,}5\,x^2\right)\,cm^2$\\
							&$=$	&$\left(-4{,}5\,x^2\;+24\,x\right)\,cm^2$.
			\end{tabular}
	\item 	Aus ~$a=-4{,}5$, ~$b=24$~ und ~$c=0$~ folgt mit der Scheitelpunktsformel:\\
            $x_S=\tfrac{-24}{2\,(-4{,}5)}=\tfrac{8}{3}=2\frac{2}{3}$. Siehe L"osung~(c)\,!\\
			$y_S=0\;-\tfrac{24^2}{4\,(-4{,}5)}=32$, was die H"alfte der Quadratfl"achenma"szahl ist.
	\item 	{\bf 1.\,M"oglichkeit:}\\
			Der maximale Trapezfl"acheninhalt betr"agt~$32\,cm^2$. Somit gibt es keinen gr"o"seren.\\
			{\bf 2. M"oglichkeit:}\\
			$-4{,}5\,x^2\;+24\,x=41{,}07\quad\iff\quad-4{,}5\,x^2\;+24\,x\;-41{,}07=0$\,!\\
			Diskriminante: ~$D=24^2\;-4\,(-4{,}5)\,(-41{,}07)=-163{,}26\,<0~~(\dag)$.\\
			Ohne reelle L"osung dieser Gleichung gibt es auch kein Trapez~$P_3Q_3R_3S_3$.
	\end{enumerate}
}
