%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh149mn_a1.1}
    \end{center}
	Beim gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck~$ABC$ ist~$M$ der Hypotenusen\-mittelpunkt.
	Die Punkte~$P_n$ mit $|\overline{AP}_n|=x\,cm$ wandern auf der Kathete~$\overline{AC}$,
	wodurch Dreiecke~$BMP_n$ entstehen.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne das Dreieck~$ABC$ f"ur ~$|\overline{AB}|=6\,cm$\\
			zusammen mit dem Dreieck~$BMP_1$ f"ur ~$x=2$\,!
	\item 	F"ur welche Belegungen von $x$ gibt es solche Dreiecke~$BMP_n$\,?
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt~$A$ der Dreiecke~$BMP_n$ in Abh"angigkeit von $x$\,!\\
			Ergebnis: ~$A(x)=(9\;-1{,}5\,x)\,cm^2$.	~Tipp: ~F"alle das Lot von~$M$ auf $\overline{AC}$\,!
	\item 	Beim Dreieck~$BMP_2$ betr"agt der Fl"acheninhalt~$6{,}6\,cm^2$.\\
			Berechne die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Beim Dreieck~$BMP_3$ ist das zugeh"orige Dreieck~$MCP_3$ gleichschenklig\\
			mit der Basis~$\overline{MP_3}$. Berechne die Belegung von $x$ auf zwei Dezimale!
	\item 	Das Dreieck~$BMP_4$ nimmt~$20\,\%$ der Fl"ache vom Dreieck~$ABC$ ein.\\
			Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$\,!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh149mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	F"ur $x=0$ ergibt sich das maximale Dreieck. F"ur $x=6$ entartet das betreffende Dreieck zur Doppelstrecke~$\overline{BC}$.
			Also gibt es Dreiecke f"ur $x\in[0;\,6[\,_{\RR}$.
	\item 	Eine m"ogliche Strategie w"are, jeweils den Fl"acheninhalt der Dreiecke~$ABP_n$ und $P_nMC$ in Abh"angigkeit von $x$ zu berechnen
			und dann die beiden Fl"acheninhalte vom Fl"acheninhalt des Dreiecks~$ABC$ zu subtrahieren!\\
			$A_{\triangle\,ABC}=\tfrac{1}{2}\cdot6\,cm\cdot6\,cm=18\,cm^2$ ~und~ $A_{\triangle\,ABP_n}=\tfrac{1}{2}\cdot6\,cm\cdot x\,cm=3\,x\,cm^2$.\\
			$A_{\triangle\,P_nMC}=\tfrac{1}{2}\cdot|\overline{P_nC}|\cdot|\overline{FM}|=\frac{1}{2}\cdot(6\;-x)\,cm\cdot3\,cm=(9\;-1{,}5\,x)\,cm^2$.\\
			$A(x)=\left(18\;-3\,x\;-(9\;-1{,}5\,x)\right)\,cm^2=(9\;-1{,}5\,x)\,cm^2=A_{\triangle\,P_nMC}$.\\
			Kommentar: ~Die Fl"acheninhalte der Dreiecke~$BCP_n$ werden st"andig\\
			\phantom{Kommentar: ~}durch deren Seitenhalbierende~$\overline{P_nM}$ halbiert.
	\item 	$9\;-1{,}5\,x=6{,}6\quad\iff\quad x=1{,}6$.
	\item 	Es muss gelten: ~$|\overline{CP_n}|=|\overline{CM}|$ ~mit~ $|\overline{CP_n}|=(6\;-x)\,cm$.\\
			Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck~$ABC$ ist ein halbes Quadrat\\
			mit	der Diagonalenl"ange~$|\overline{BC}|=\sqrt{2}\cdot6\,cm\quad\Rightarrow\quad|\overline{CM}|=3\,\sqrt{2}\,cm$.\\
			Damit muss gelten: ~$6\;-x=3\,\sqrt{2}\quad\iff\quad x=6\;-3\,\sqrt{2}\approx1{,}76$.
	\item 	$20\,\%=0{,}2~\Rightarrow~(9\;-1{,}5\,x)\,cm^2=0{,}2\cdot18\,cm^2~\iff~9\;-1{,}5\,x=3{,}6~\iff~x=3{,}6$.
	\end{enumerate}
}