%
%
\ANG
{
	Das regelm"a"sige Sechseck~$ABCDEF$ mit seinem Inkeis besitzen den Mittelpunkt~$M$ und die Symmetrieachse~$s$.
	Die Mittelpunkte der Kreisb"ogen, die sich in $G$ ber"uhren, sind $D$ und $E$.\\
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh019mn10_1.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur $|\overline{AB}|=4\,cm$\,!
	\item	Berechne f"ur $|\overline{AB}|=4\,cm$ den Fl"acheninhalt~$A_{farbig}$ des eingef"arbten Ringes!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die waagrechte Strecke~$\overline{ED}$ mit Mittelpunkt~$G$ und tragen an den Punkten~$E$ und $D$ Kreisb"ogen mit
			jeweils $4\,cm$ Radius an, die sich im Mittelpunkt~$M$ des Inkreises mit Radius~$|\overline{MG}|$ schneiden!
			Die Symmetrieachse~$s$ liefert am Inkreis den Mittelpunkt der waagrechten Strecke~$\overline{AB}$. Mit der Senkrechten zu~$s$
			durch den Mittelpunkt~$M$ und den Kreisb"ogen um~$E$ und $D$ mit jeweils $4\,cm$ Radius erh"altst du die rest\-lichen Punkte~$C$
			und $F$ des regel\-m"a"sigen Sechsecks.
	\item	Der direkteste Weg der Fl"achenberechnung f"uhrt "uber den Kreis\-bogen~$\stackrel{\frown}{PQ}$, so dass dem geschlossenen Kreis\-ring
			lediglich noch das eingef"arbte Kreisbogendreieck~$QPG$ entnommen werden muss.
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh019mn10_2.1}
			\end{center}
			Jedes regelm"a"sige Sechseck l"asst sich in 6 kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegen.\\
			Der gro"se Radius $R=\frac{\sqrt3}{2}\cdot4\,cm=2\,\sqrt3\,cm$ des Ringes ist so lang
			wie die H"ohe~$\overline{MG}$ und sein kleiner Radius~$r=2\,cm$ ist halb so lang
			wie die Seitenl"ange des gleich\-seitigen Dreiecks~$MDE$.
			Damit ergibt sich f"ur den Fl"acheninhalt~$A_{Ring}$ des geschlossenen Kreisrings:\\
			~$A_{Ring}=\left((2\,\sqrt3\,cm)^2\,-(2\,cm)^2\right)\,\pi=8\,\pi\,cm^2$.\\
			Der Fl"acheninhalt~$A_{Kreisdreieck}$ des Kreisbogendreiecks $QPG$ bleibt "ubrig, wenn man aus dem gleichseitigen Dreieck $MDE$ 
			die drei kongruenten Sektoren~$EQG$, $MPQ$ und $DGP$ mit einem Mittelpunkts\-winkel von jeweils $60^\circ$ entfernt:\\
			$A_{Kreisdreieck}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(4\,cm)^2\;-3\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}\,\pi\cdot(2\,cm)^2=(4\sqrt3\;-2\,\pi)\,cm^2$.\\
			Damit ergibt sich der gesuchte Fl"acheninhalt:\\
			$A_{farbig}=A_{Ring}\;-A_{Kreisdreieck}=(10\,\pi\;-4\sqrt3)\,cm^2\approx24{,}49\,cm^2$.\\
			~\\
			{\bf Hinweis}:\\
			Eine weitere M"oglichkeit besteht darin, den Fl"acheninhalt des offenen Kreisrings au"serhalb des Dreiecks~$MDE$ zu berechnen
			und dann die beiden "`Enden"', die im gleichseitigen Dreieck~$MDE$ liegen, anzuf"ugen. Doch dies ist offensichtlich wesentlich
			m"uhsamer auszurechnen.
	\end{enumerate}
}