%
%
\ANG
{
	In der Abbildung gilt: ~$|\overline{AB}|=3\,cm$.\\
	Der Punkt~$M$ und die Punkte~$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, und $F$ sind Kreismittelpunkte.\\
	Die Punkte~$P$ und $Q$ sind die Mittelpunkte der Kreis\-b"ogen~$\stackrel{\frown}{AF}$ und $\stackrel{\frown}{CB}$,\\
	die sich in das Innere des Kreises mit dem Mittelpunkt~$M$ w"olben.\\
	\begin{center}
		\includegraphics{09kw001mn10_a.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Begr"unde, dass das Sechseck~$ABCDEF$ regelm"a"sig ist!
	\item 	Berechne den Inhalt~$A_{farbig}$ der gef"arbten Fl"ache!\\
			{\bf Hinweis:} Zeichne ausgehend von Punkt~$M$ geeignete Hilfslinien ein. 
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Die Strecken~$\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\ldots$ , $\overline{FA}$ sind jeweils $3\,cm$ lang.
			Also sind die Dreiecke~$ABM$, $BCM$, $\ldots$, $FAM$ gleichseitig und kongruent.
			Daher haben die Winkel~$BAF$, $CBA$, $\ldots$, $EFA$ alle das Ma"s $120^\circ$.
			Also ist das Sechseck~$ABCDEF$ regelm"a"sig.
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09kw001mn10_l.1}
			\end{center}
			Das Viereck~$FMDE$ ist aus den beiden kongruenten gleichseitigen Dreiecken~$FME$ und $MDE$ zusammengef"ugt.
			Also ist das Viereck~$FMDE$ eine Raute, deren Diagonalen~$\overline{FD}$ und $\overline{EM}$ im Punkt~$H$
			aufeinander senkrecht stehen.\\
			Im Dreieck~$MDE$ liegt die Strecke~$\overline{MG}$ auf einer Winkelhalbierenden. Der Punkt~$G$ ist gleichzeitig
			der Schwerpunkt in diesem Dreieck, der alle Seitenhalbierenden (hier: $\overline{EC}$ und $\overline{DF}$)
			und damit alle H"ohen im Verh"altnis~$2:1$ teilt.\\
			Also gilt: ~$|\overline{MG}|=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot3\,cm=\sqrt3\,cm\approx1{,}73\,cm$.\\
			Wegen $|\overline{FC}|=6\,cm$ gilt: ~$A_{\triangle FCG}=\frac{1}{2}\cdot6\,cm\cdot\sqrt3\,cm=3\,\sqrt3\,cm^2\approx5{,}20\,cm^2$.\\
			Die Dreiecke~$FAM$, $ABM$ und $BCM$ sind gleichseitig und kongruent:\\
			$A_{\triangle ABM}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot(3\,cm)^2=\frac{9}{4}\sqrt3\,cm^2\approx3{,}90\,cm^2$.\\
			Von den beiden Dreiecken~$FAM$ und $BCM$ musst du jeweils noch das nach innen ge\-w"olbte Kreis\-segment unter der
			Sehne~$\overline{AF}$ bzw. $\overline{BC}$ subtrahieren.
			Diese beiden Segmente sind aus Symmetrie\-gr"unden zu ihrem jeweils dar"uber liegenden Kreis\-segment kongruent.\\
			Somit ergibt sich z.\,B: ~$A_{Segment AF}=A_{Sektor MFA}\;-A_{\triangle MFA}$\\
			$=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot(3\,cm)^2\,-A_{\triangle ABM}
			=\frac{3}{2}\,\pi\,cm^2\;-\frac{9}{4}\,\sqrt3\,cm^2\approx0{,}82\,cm^2$.\\
			F"ur das Fl"achenst"uck~$A^*$, das durch die Strecken~$\overline{MF}$ und $\overline{MA}$ sowie durch
			den nach innen gew"olbten Kreisbogen~$\stackrel{\frown}{AF}$ begrenzt wird, ergibt sich:\\
			$A^*=\frac{\sqrt3}{4}\cdot(3\,cm)^2\,-\frac{3}{2}\,\pi\,cm^2\;+\frac{9}{4}\,\sqrt3\,cm^2
			=\frac{9}{2}\,\sqrt3\,cm^2\;-\frac{3}{2}\pi\,cm^2\approx3{,}08\,cm^2$.\\
			F"ur den Inhalt des gef"arbten Fl"achenst"uckes ergibt sich dann:\\
			$A_{farbig}=A_{\triangle FCG}\;+A_{\triangle ABM}\;+2\,A^*=(14{,}25\,\sqrt3\;-3\,\pi)\,cm^2\approx15{,}26\,cm^2$.
	\end{enumerate}
}