%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh031mn10_a.1}
	\end{center}
	Die Punkte~$D$ und $E$ sind zwei Seitenmittelpunkte des gleichseitigen Dreiecks~$ABC$ mit der Seitenl"ange $a$.\\
	Die Punkte~$S$, $D$, $C$ und $E$ sind die Mittelpunkte der Kreisb"ogen~$k_1$, $k_2$, $k_3$ und $k_4$,
	welche die eif"ormige Figur bilden. Der Punkt~$M$ ist der Mittelpunkt des Um\-kreises~$k_u$ dieser Eilinie.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item 	Beschreibe, wie du diese Figur zeichnest!
			\item 	Zeichne die Figur f"ur $a=6\,cm$\,!
			\end{itemize}
	\item 	Begr"unde: Neben der Symmetrieachse~$PQ$ besitzt die Eilinie keine weitere!
	\item 	Wie viel Prozent der Fl"ache des Umkreises~$k_u$ bedeckt die eif"ormige Fl"ache?
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Zeichne das gleichseitige Dreieck $ABC$!\\
					Verl"angere dabei die Strecken~$\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ jeweils "uber $C$ hinaus!\\
					$\overline{AE}\cap\overline{BD}=\{S\}$.\\
					Zeichne den Kreisbogen~$k_1(S;\;r_1=|\overline{SA}|)$\,!\\
					$k_2(D;\;r_2=|\overline{DB}|)\cap[AC=\{F\}$ ~und~ $k_4(E;\; r_4=|\overline{EA}|)\cap[BC=\{G\}$.\\
					Zeichne den Kreisbogen~$k_3(C;\;r_3=|\overline{CF}|)$\,!\\
					Die Gerade~$PQ$ ist die Symmetrieachse der Figur.\\
					Der Mittelpunkt der Strecke~$\overline{PQ}$ ist $M$.\\
			\item	\mbox{}\begin{center}
						\includegraphics{09eh031mn10_l01.1}
					\end{center}
			\end{itemize}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh031mn10_l02.1}
			\end{center}
			Zwar sind die beiden Kreisb"ogen~$k_2$ und $k_4$ kongruent, aber die beiden	Kreisb"ogen
			$k_1$~(Radius $|\overline{SQ}|$) und $k_3$~(Radius $|\overline{CP}|$) sind es nicht.
			Also ist die Senkrechte zur Geraden~$PQ$ durch den Punkt~$M$ keine Symmetrieachse der Figur.
			Andere Geraden, die ebenfalls durch $M$ verlaufen, kommen aus dem gleichen Grund nicht als
			Sym\-metrie\-achsen in Betracht.
	\item 	Der Schnittpunkt~$S$ ist auch der Schwerpunkt des Dreiecks~$ABC$, der die Schwerlinien im Verh"altnis~$2:1$ teilt.\\
			Es seien $r_1=|\overline{SA}|$, $r_2=|\overline{DB}|$ und $r_3=|\overline{CF}|$.\\
			Die drei Kreisb"ogen~$k_1$, $k_2$ und $k_3$ schlie"sen die Kreisteile~$A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$
			au"serhalb des gleichseitigen Dreiecks~$ABC$ ein, dessen Fl"acheninhalt kurz $A_{\triangle}$ hei"sen soll.\\
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh031mn10_l03.1}
			\end{center}
			$r_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,a=\frac{\sqrt3}{3}\,a\quad
			\Rightarrow\quad A_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(\frac{\sqrt3}{3}\,a)^2-\frac{1}{3}\,A_{\triangle}
			=\frac{1}{9}\,\pi\,a^2-\frac{1}{3}\,A_{\triangle}$\\
            $r_2=\frac{\sqrt3}{2}\,a=r_4\quad
			\Rightarrow\quad A_2=\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot(\frac{\sqrt3}{2}\,a)^2-\frac{1}{2}\,A_{\triangle}
			=\frac{3}{16}\,\pi\,a^2-\frac{1}{2}\,A_{\triangle}=A_4$\\
			$r_3=(\frac{\sqrt3}{2}\;-\frac{1}{2})\,a\quad
			\Rightarrow\quad A_3=\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot\left((\sqrt3\;-1)\,\frac{a}{2}\right)^2
			=\ldots=\left(\frac{1}{6}\;-\frac{\sqrt3}{12}\right)\,\pi\,a^2$\\
			$A_{Ei}=A_{\triangle}\;
			+\frac{1}{9}\,\pi\,a^2-\frac{1}{3}\,A_{\triangle}\;
			+\frac{3}{8}\,\pi\,a^2-A_{\triangle}\;
			+\left(\frac{1}{6}\;-\frac{\sqrt3}{12}\right)\,\pi\,a^2$\\
			$\phantom{A_{Ei}}=\left(\frac{47}{72}\;-\frac{\sqrt3}{12}\right)\,\pi\,a^2\;-\frac{\sqrt3}{12}\,a^2
			\approx1{,}4530\,a^2$\\
			~\\
			Beim Umkreis~$k_u$ mit dem Durchmesser~$d_u=2\,r_1\;+r_3$\\
			$\Rightarrow\quad r_u=r_1\;+\frac{1}{2}\,r_3=(\frac{7}{12}\,\sqrt3\;-\frac{1}{4})\,a$\\
			ergibt sich für den Fl"acheninhalt~$A_u=\pi\,\left(\frac{7}{12}\,\sqrt3\;-\frac{1}{4}\right)^2 a^2\approx1{,}8163\,a^2$\\
			~\\
			$\Rightarrow\quad\D\frac{A_{Ei}}{A_u}=\tfrac{1,4530}{1,8163}\approx0{,}79997\ldots\approx80\,\%$\\
			~\\
			Der Verdacht liegt nahe, dass es genau $80\,\%$ sind. Aber Z"ahler und Nenner stehen leider im
			irrationalen Verh"altnis (man sagt, \GF{Z"ahler und Nenner sind inkommen\-surabel.}). 
			Das liegt z.\,B. daran, dass sich die Zahl $\pi$ nicht herausk"urzt.
	\end{enumerate}
}              