%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh029mn_a.1}
    \end{center}
	Der Kreisbogen~$b$ von $B$ nach $D$ im Quadrat~$ABCD$ mit der Diagonalen\-l"ange~$2\,a$
	besitzt den Mittelpunkt~$A$.\\
	In der Figur ist eine M"oglichkeit dargestellt, wie die Mittelpunkte~$M_1$ und $M_2$ der beiden
	einbeschriebenen Kreise~$k_1$ und $k_2$ mit den Radien~$R$ bzw. $r$ konstruiert werden k"onnen.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Beschreibe jeden Konstruktionsschritt in der richtigen Reihenfolge!
            \item	Konstruiere die Figur mit den einbeschriebenen Kreisen~$k_1$ und $k_2$\\
					f"ur $a=6\,cm$\,!
			\end{itemize}
	\item	Berechne die Kreisradien~$R$ und $r$ in Abh"angigkeit von $a$ und best"atige damit,\\
			dass diese Konstruktion der einbeschriebenen Kreise korrekt ist!\\
			{\bf Tipp:}	Zeichne die Ber"uhrradien der Kreisline~$k_2$
						an die Seiten~$\overline{BC}$ und $\overline{DC}$ ein!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
    \item	\begin{itemize}     
			\item	\begin{itemize}
					\item[--]	Zeichne Das Quadrat~$ABCD$ mit seinen Diagonalen und dem Kreisbogen~$b$!
					\item[--]	$b\cap\overline{AC}=\{T\}$.
					\item[--]	Zeichne die Tangente~$t$ an diesen Kreisbogen im Punkt~$T$\,!
					\item[--]	$t\cap\overline{DC}=\{P\}$ ~und~ $t\cap\overline{BC}=\{Q\}$.
					\item[--]	Die Senkrechten auf die Seiten~$\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ im Punkt~$P$ bzw. $Q$\\
								schneiden sich im Mittelpunkt~$M_1$.
					\item[--]	Der Kreis um den Punkt~$M_1$ mit dem Radius $|\overline{M_1Q}|$\\
								schneidet die Diagonale~$\overline{AC}$ im Kreismittelpunkt~$M_2$.
					\item[--]	$R=|\overline{M_1T}|$ ~und~  $r=|\overline{M_2T}|$.
					\end{itemize}
			\item 	Konstruktion: Die Diagonalen sind $2\,a=12\,cm$ lang, sie stehen aufeinander senkrecht
					und sie halbieren sich. Die restlichen Konstruktionsschritte sind oben angef"uhrt.
			\end{itemize}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh029mn_l1.1}
			\end{center}
			Das Dreieck~$PQC$ ist gleichschenklig-rechtwinklig.\\
			Dort gilt: ~$|\overline{TC}|=|\overline{AC}|\;-|\overline{AT}|=2\,a\;-\sqrt2\,a=(2\;-\sqrt2)\,a$.\\
			Das Viereck~$M_1QCP$ ist ein Quadrat. Also gilt dort:\\
			$R=|\overline{M_1T}|=|\overline{TC}|=2\,a\;-\sqrt2\,a=(2\;-\sqrt2)\,a$.\\
	    
			$|\overline{M_1M}_2|=|\overline{M_1Q}|=|\overline{PC}|=\sqrt2\,|\overline{TC}|=\sqrt2\,R=(2\,\sqrt2\;-2)\,a$.\\
			$r=|\overline{M_2T}|=|\overline{M_1M}_2|\;-R=(3\,\sqrt2\;-4)\,a$.\\
	    
			Die beiden Ber"uhrradien~$r$ erzeugen das Quadrat~$M_2RCS$.\\
			Dann m"usste aber gelten: ~$|\overline{M_2C}|=\sqrt2\,r$\,!\\
			$|\overline{M_2C}|=|\overline{M_1C}|\;-|\overline{M_1M}_2|=2\,|\overline{TC}|\;-|\overline{M_1M}_2|$\\
			$\phantom{|\overline{M_2C}|}=2\,(2\;-\sqrt2)\,a\;-(2\,\sqrt2\;-2)\,a=(4\;-2\,\sqrt2\;-2\sqrt2\;+2)\,a$\\
			$\phantom{|\overline{M_2C}|}=(6\;-4\,\sqrt2)\,a=\sqrt2\,(3\,\sqrt2\;-4)\,a=\sqrt2\,r$,
			was zu zeigen war.\\
	    
			Analog m"usste nun gelten: ~$|\overline{M_1A}|=\sqrt2\,R$\,!\\
			$|\overline{M_1A}|=|\overline{AC}|\;-|\overline{CM}_1|=2\,a\;-2\,|\overline{TC}|=2\,a\;-2\,(2\;-\sqrt2)\,a$\\
			$\phantom{|\overline{M_1A}|}=(2\sqrt2\;-2)\,a=\sqrt2\,(2\;-\sqrt2)\,a=\sqrt2\,R$, was zu zeigen war.
	\end{enumerate}
}                       