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\ANG
{
	In einem Lehrbuch zum Thema \GF{Gleichungssysteme} steht die Aufgabe\\
	~\GF{Berechne die nat"ur\-lichen Zahlen~$a$ und $b$ so, dass ~$a^2\;-b^2=15$~ gilt!}\\
	mit der L"osung:
	\begin{center}
		{\sc Musterl"osung}\\
		\vspace{2mm}
		$a^2\;-b^2=15\quad\iff\quad(a\;-b)(a\;+b)=15$.\\
	\end{center}
	Wegen ~$T_{15}=\{1;\;3;\;5;\;15\}$~ und ~$a\;+b>a\;-b$~ folgt\\
	{\bf entweder:}\\
	$\begin{array}{c r c c c r r}
				&a	&+	&b	&=	&15	&\quad(1)\\
	\wedge		&a	&-	&b	&=	&1	&\quad(2)\\
	\hline
	(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&16 & 
	\end{array}$\\
	$\quad\Rightarrow\quad a=8$ \quad z.\,B. in (1)\quad$\Rightarrow\quad b=7$\\
	Probe: ~$8^2\;-7^2=64\;-49=15$, stimmt,\\
	{\bf oder:}\\
	$\begin{array}{c r c c c r r}
				&a	&+	&b	&=	&5	&\quad(1)\\
	\wedge		&a	&-	&b	&=	&3	&\quad(2)\\
	\hline
	(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&8 & 
	\end{array}$\\
	$\quad\Rightarrow\quad a=4$ \quad z.\,B. in (1)\quad$\Rightarrow\quad b=1$\\
	Probe: ~$4^2\;-1^2=16\;-1=15$, stimmt $\quad\Rightarrow\quad L=\{(4\mid1);\;(8\mid7)\}.$
	\begin{enumerate}
	\item 	L"ose die Aufgabe f"ur ~$a^2\;-b^2=77$~ und mache die Probe!
	\item 	L"ose die Aufgabe f"ur ~$a^2\;-b^2=83$~ und mache die Probe!
	\item 	L"ose die Aufgabe f"ur ~$a^2\;-b^2=38$~ und mache die Probe!
	\item 	Edwin behauptet: \GF{Wenn der Wert der Differenz aus den Quadraten von\\
			\phantom{Edwin behauptet: ~\,}$a$ und $b$ gerade ist, dann ist die L"osungsmenge leer.}\\
			Begr"unde, dass Edwin nicht Recht hat!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Wegen $T_{77}=\{1;\,7;\,11;\,77\}$ folgt\\
			{\bf entweder:}\\
			$\begin{array}{c r c c c r r}
						&a	&+	&b	&=	&11	&\quad(1)\\
			\wedge		&a	&-	&b	&=	&7	&\quad(2)\\
			\hline
			(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&18 & 
			\end{array}$\\
			$\quad\Rightarrow\quad a=9$ \quad z.\,B. in (1)\quad$\Rightarrow\quad b=2$\\
			Probe: ~$9^2\;-2^2=81\;-4=77$, stimmt,\\
			{\bf oder:}\\
			$\begin{array}{c r c c c r r}
						&a	&+	&b	&=	&77	&\quad(1)\\
			\wedge		&a	&-	&b	&=	&1	&\quad(2)\\
			\hline
			(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&78 & 
			\end{array}$\\
			$\quad\Rightarrow\quad a=39$ \quad z.\,B. in (1)\quad$\Rightarrow\quad b=38$\\
			Probe: ~$39^2\;-38^2=1521\;-1444=77$, stimmt $\quad\Rightarrow\quad L=\{(9\mid2);\;(39\mid38)\}.$
	\item 	$83$ ist eine Primzahl. Wegen $T_{83}=\{1;\;83\}$ folgt\\
			$\begin{array}{c r c c c r r}
						&a	&+	&b	&=	&83	&\quad(1)\\
			\wedge		&a	&-	&b	&=	&1	&\quad(2)\\
			\hline
			(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&84 & 
			\end{array}$\\
			$\quad\Rightarrow\quad a=42$ \quad z.\,B. in (1)\quad$\Rightarrow\quad b=41$\\
			Probe: ~$42^2\;-41^2=1764\;-1681=83$, stimmt $\quad\Rightarrow\quad L=\{(42\mid41)\}.$
	\item  	Wegen $T_{38}=\{1;\,2;\,19;\,38\}$ ist ~$a=(1\;+38):2=19{,}5\not\in\NN$\\
			bzw. ~$a=(2\;+19):2=10{,}5\not\in\NN$. Damit folgt: ~$L=\emptyset$.
	\item	Das Gegenbeispiel ~$a^2\;-b^2=44$~ zeigt, dass Edwin Unrecht hat:\\
			$\begin{array}{c r c c c r r}
						&a	&+	&b	&=	&22	&\quad(1)\\
			\wedge		&a	&-	&b	&=	&2	&\quad(2)\\
			\hline
			(1)+(2):\;	&2\,a &	&	&=	&24 & 
			\end{array}$ $\quad\Rightarrow ~a=12$~ und ~$b=10$.\\
			In der Tat ist $12^2\;-10^2=144\;-100=44$.\\
			F"ur $a^2\;-b^2=2^n\cdot p$ mit $n\in\NN\setminus\{1\}$ und Primzahl~$p$ gibt es stets eine L"osung.
	\end{enumerate}
}













