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\ANG
{
Die gr"o"ste Zahl die man aus drei Ziffern bilden kann, ist $9^{\,9\,^9}$.\\
Wohlgemerkt: $9^{\,9\,^9}=9^{(9\,^9)}$. Dagegen ist n"amlich $(9^9)^9=9^{\,9\,\cdot\, 9}=9^{\,81}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne die letzte Ziffer des Potenzwertes.
\item Berechne m"oglichst genau, aus wie vielen Ziffern der Wert dieser Potenz besteht.
\item Stelle dir vor, eine Klasse aus $30$ Sch"ulerinnen und Sch"ulern bek"ame den Auftrag, den Wert
      dieser Potenz Ziffer f"ur Ziffer aufzuschreiben, wobei jede/jeder gleich viele Ziffern
      "ubernimmt.\\
      Wie lange h"atten alle zu tun, wenn pro Sekunde eine Ziffer notiert wird?
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 

      \begin{tabular}{l ||l| l| l |l |l |l}
      $x$       & $1$ & $2$  & $3$   & $4$    & $5$     &   $\ldots$\\
      \hline
      $9^{\,x}$ & $9$ & $81$ & $729$ & $6561$ & $59049$ & $\ldots$
      \end{tabular}\\
      
      Bei geradem Exponenten lautet die Endziffer stets 1, bei ungeradem Exponenten 9. Andere
      Endziffern au"ser 1 oder 9 gibt es nicht.\\
      $9^{\,9\,^9}=9^{\,387\,420\,489}$; die letzte Ziffer des Exponenten ist 9, also ungerade.
      Damit endet der Wert der Potenz $9^{\,9\,^9}$ auf die Ziffer 9.\\
      
\item $9^{\,9\,^9}=9^{(9\,^9)}=9^{\,387\,420\,489}$\\
      Diese Zahl gilt es nun, in eine Potenz mit der Basis $10$ zu verwandeln, weil der Exponent
      jeder Zehnerpotenz die Stellenzahl des Potenzwertes wiedergibt:\\
      
      \begin{tabular}{r c l l}
               $9^{\,387\,420\,489}$ & $=$       & $x$          & $\mid\,\log_{10}$\\
      $387\,420\,489\cdot\log_{10}9$ & $=$       & $\log_{10}x$ & \\
      $369\,693\,100$                & $\approx$ & $\log_{10}x$ & $\mid\,10\uparrow$\\
      $10^{\,369\,693\,100}$         & $\approx$ & $x$          & 
      \end{tabular}\\
      
      Das bedeutet: Der Wert der Potenz $9^{\,9\,^9}$ hat etwa $369\,693\,100$ Stellen.\\
\item F"ur die Niederschrift von $369\,693\,100$ Ziffern brauchst du also 
      $369\,693\,100\,\mathrm{s}$.\\
      $1\,\mathrm{d}=86\,400\,\mathrm{s}$.\\
      $369\,693\,100\,\mathrm{s}:86\,400\,\D\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{d}}\approx 4279\,\mathrm{d}$.\\
      
      Bei $30$ Sch"ulerinnen/Sch"ulern h"atte also jede(r) $4279\,\mathrm{d}:
      30\approx 142\,\mathrm{d}$, also ca. viereinhalb Monate {\bf pausenlos} zu tun.
       
\end{enumerate}
{\bf Anmerkung:} Neben den vier Grundrechenarten wurde hier das Potenzieren zur Darstellung der
gr"o"sten Zahl \GF{aus drei Ziffern} (und nicht nur \GF{dreiziffrigen}) herangezogen. Es gibt noch
ein Rechenzeichen, mit dem man den Zahlenwert bis ins Unermessliche steigern k"onnte:\\
Es ist das Zeichen \GF{!} (sprich: \GF{Fakult"at}), das beispielsweise die folgende Bedeutung
hat:\\
$3\,\mathrm{!}$ (sprich: \GF{Drei Fakult"at}) $=1\cdot 2\cdot 3=6$ oder
$5\,\mathrm{!}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$.\\
Damit er"offnen sich enorme M"oglichkeiten:
$(3\,\mathrm{!})\,\mathrm{!}$ oder kurz $3\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}=6\,\mathrm{!}=720$ usw.\\
Es wird jetzt klar, dass es unter Einbeziehung des Fakult"atszeichens f"ur die gr"o"ste Zahl aus drei
Ziffern nach oben keine Grenze gibt:
$9\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\ldots^{9\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\ldots
\,^{9\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\mathrm{!}\,\ldots}}$\\
Das Fakult"atszeichen taucht jedoch in der Regel im Stoff der Sekundarstufe I lediglich im Kapitel
\GF{Daten und Zufall} auf.
}
 

