%Zu: 10. Klasse I "Zusammenfassende Aufgaben" Zeichung: 10eh0101; 10eh0102 und 
%10eh0103
\ANG{
\mbox{}
{\bf Hinweis: } Gegebenenfalls sind alle Ergenbisse auf zwei Stellen nach dem
Komma zu runden.\\
Die Figur enth"alt im Zentrum ein Quadrat mit der
Seitenl"ange $2\,\mathrm{cm}$, das von vier kongruenten Trapezen umgeben 
ist.\\
Es gilt $\overline{AB}=4\,\mathrm{cm}$ und $\varphi\in [26,57^\circ
;90^\circ]$.
 
\begin{minipage}[m]{8.5cm}
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie diese Figur f"ur $\varphi = 35^\circ$.
\item Zeigen Sie: Nur f"ur diejenigen Winkelma"se $\varphi$, f"ur die
      $\tan\varphi > 0,5$ gilt, gibt es Trapeze.
\item Berechnen Sie $\varphi$ so, dass der Umriss der Figur zum Quadrat wird.
\item \begin{itemize}
      \item Berechnen Sie $\varphi$ so, dass der achteckige Umriss der Figur
            lauter gleich lange Seiten hat.
      \item Ist dieses Achteck aus lauter gleich langen Seiten regelm"a"sig?\\
            Begr"unden Sie Ihre Ansicht.
      \end{itemize}
\item Berechnen Sie den Fl"acheninhalt $A$ der Figur in Abh"angigkeit von 
      $\varphi$.\\
      \centerline{[ Ergebnis: $A(\varphi) = \left(36 -
      \D\frac{2}{\tan\varphi}\right)\,\mathrm{cm^2} ]$}
\item Unter allen Achtecken gibt es eines, in dem am Rand
      $2\,\mathrm{cm}$ lange Seiten auftauchen.
      Bestimmen Sie die zugeh"orige Belegung von $\varphi$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[m]{5.5cm}
\EPSBASIS{10eh0111}{6cm}{}
\end{minipage}


}

\LSG{\mbox{}

Wir rechnen nur mit Ma"szahlen.	
\begin{enumerate}
\item ---
\item \mbox{}
\begin{center}
      \EPSBASIS{10eh0112}{6cm}{}
      \end{center}
      Nur f"ur $C \in ]DP]$ gibt es Trapeze. Also muss der Punkt $Q$ oberhalb
      vom Punkt $D$ liegen:\\
      $\tan \varphi = \D\frac{\overline{QA}}{\overline{AB}}>
      \D\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = 0,5$.
\item Es gibt zwei L"osungen:

      \begin{tabular}{l l}
      1. $C = D$. & $\overline{BD}$ ist die Seitenl"ange: $\tan
      \varphi = 0,5 \quad \varphi _1 \approx 26,57^\circ$.\\
      2. $C = P$. & $\varphi _2 = 90^\circ$.
      \end{tabular}
      
\item \begin{itemize}
      \item \mbox{}
       1. M"oglichkeit:
            
      Siehe Zeichnung zur L"osung b).\\
      
      Es muss gelten: $\overline{CB} = \overline{DC}$.\\
      $\Delta CBP$: $\sin \varphi =\D\frac{2}{\overline{CB}}\quad\Rightarrow
      \quad \overline{CB}=\D\frac{2}{\sin \varphi}$.\\
      Weiter gilt: $\overline{DC} = \overline{DP}-\overline{CP}= 4 - 
      \overline{CP}$.\\
      $\Delta CBP$: $\tan\varphi = \D\frac{2}{\overline{CP}}
      \quad\Leftrightarrow\quad \overline{CP}=\D\frac{2}{\tan\varphi}
      \quad \Rightarrow \quad \overline{DC} = 4 - \D\frac{2}{\tan\varphi}$.
            
      \begin{tabular}{r c r}
      Also: $\overline{CB}= \overline{DC}$ & $\Leftrightarrow$ &
      $\D\frac{2}{\sin\varphi}=4 - \D\frac{2}{\tan\varphi}$\\
                                           & $\Leftrightarrow$ &
      $\D\frac{1}{\sin\varphi}+ \D\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=2$\\
                                           & $\Leftrightarrow$ &
      $1+ \cos\varphi=2\sin\varphi$\\
                                             & $\Leftrightarrow$ &
      $\sin\varphi - 0,5\cos\varphi=0,5$
      \end{tabular}
      
      Mit $0,5 \approx \tan 26,57^\circ$ ergibt sich:
      
      \begin{tabular}{l c l}
       $\sin\varphi - \D\frac{\sin 26,57^\circ}{\cos 26,57^\circ}\cos\varphi$ 
       & $\approx$  & $0,5$\\
       $\sin\varphi\cos 26,57^\circ - \sin 26,57^\circ\cos\varphi$ & $\approx$ &
       $0,5\cdot\cos 26,57^\circ$\\
       $\sin (\varphi - 26,57^\circ)$ & $\approx$ & $0,5\cdot\cos 26,57^\circ$\\
       $\varphi - 26,57^\circ$ & $\approx$ & $26,56^\circ \quad 
       \Leftrightarrow \quad \varphi \approx 53,13^\circ$  
      \end{tabular}\\
      
       2. M"oglichkeit: Man erzeugt durch die Mittelsenkrechte $m$ das
       gleichschenklige Dreieck $DBC$:
      \begin{center}
      \EPSBASIS{10eh0113}{6.5cm}{}
      \end{center}
      Wegen $\sphericalangle DBA = \varphi_1$ [vgl. L"osung c)] folgt 
      $\sphericalangle BDC = \varphi_1$ (Z-Winkel).\\
      Also muss auch $\sphericalangle CBD = \varphi_1$ sein.\\
      $\Rightarrow \quad\varphi$ ist doppelt so gro"s wie $\varphi_1$:
      $\varphi\approx 53,14^\circ$.
      \item Alle Innenwinkel dieses gleichseitigen Achtecks m"ussten gleiches
      Ma"s haben: $180^\circ - \varphi = 90^\circ + \varphi
      \quad\Rightarrow\quad \varphi = 45^\circ$ (siehe Figur in der
      Aufgabenstellung).\\
      Das Ergebnis steht im Widerspruch zur L"osung in einer der beiden
      vorhergehenden M"oglichkeiten; also sind keine regelm"a"sigen Achtecke
      darunter.
      \end{itemize}
\item Siehe Zeichnung zur L"osung b):\\
      $A(ABCD) = 4\cdot 2 - \D\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\overline{CP}$\\
      $\Rightarrow\quad A(ABCD) =8-\D\frac{2}{\tan\varphi}$ 
      [vgl. L"osung d) 1. M"oglichkeit]\\
      $\Rightarrow \quad A(\varphi )=2\cdot 2 + 4\cdot (8-\D\frac{2}
      {\tan\varphi})= 36 - \D\frac{8}{\tan\varphi}$.\\
      
      Man betrachte hier erneut den Grenzfall $\varphi = 90^\circ$.
      
\item Siehe Abbildung in der L"osung b):\\
      Der Fall $\overline{CB}=2$ kann nicht eintreten, denn die Hypotenuse 
      $[CB]$ im $\Delta CBP$ ist stets l"anger als die $2\,\mathrm{cm}$ lange
      Kathete $[BP]$.\\
      Also: $\overline{DC}=2$; damit ist das Dreieck $CBP$
      gleichschenklig-rechtwinklig und es gilt $\varphi = 45^\circ$.\\
      $A(45^\circ) = 36-8=28.$
\end{enumerate}
	
}

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