% 10I  Berechnungen in Dreiecken
% + cs_09.eps + cs_10.eps
\ANG{\mbox{}
Das ist ein Bild der Nationalflagge der Tschechischen Republik.
      \begin{center}
      \EPSBASIS{10x50021}{7.5cm}{}
      \end{center}
Es gilt: $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{AD}=4\,\mathrm{cm}$.
Zus"atzlich ist noch das Winkelma"s $\varepsilon$ eingezeichnet.\\
{\bf Hinweis:} Alle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Stellen nach dem
Komma zu runden. 
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie die Figur f"ur $\varepsilon = 68^\circ$.      
\item Welche Werte kann $\varepsilon$ annehmen, wenn der Punkt E auf der
      Mittelparallelen des Rechtecks $ABCD$ wandert und wenn dabei das 
      Dreieck $AED$ nicht verschwinden soll?
\item Berechnen Sie den Fl"acheninhalt $A_D$ des Dreiecks $AED$ in Abh"angigkeit
      von $\varepsilon$.\\
      $$\text{[ Ergebnis: }A_D=\left( \frac{4}{\tan
      \frac{\varepsilon}{2}}\right)\,\mathrm{cm^2}
      \text{ ]}$$
\item Berechnen Sie $\varepsilon$ so, dass die Inhalte aller drei Teilfl"achen 
      im Inneren des Rechtecks $ABCD$  gleich gro"s sind. Verwenden Sie dabei
      das Ergebnis der Aufgabe (e) noch nicht.
\item Berechnen Sie den Fl"acheninhalt $A_T$ des Trapezes $ABFE$ in 
      Abh"angigkeit von $\varepsilon$.
      $$\text{[ Ergebnis: }A_T=\left( 16-\frac{4}{\tan
      \frac{\varepsilon}{2}}\right)\,\mathrm{cm^2}
      \text{ ]}$$
\item Best"atigen Sie nun das Ergebnis der Aufgabe (d) mit Hilfe der Ergebnisse
      der Aufgaben (c) und (e).
\end{enumerate}
}
\LSG{
 
\begin{enumerate}
\item --
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \EPSBASIS{10x50022}{7.5cm}{}
      \end{center}
      Das Dreieck $AED$ ist stets gleichschenklig.\\
      Das Winkelma"s $\varepsilon$ wird f"ur $E=F$ am kleinsten:     
      $$\tan\frac{\varepsilon(min)}{2}=\frac{\overline{AG}}{\overline{GF}}=
      \frac{2}{8}\quad\Rightarrow\quad\varepsilon\,\mathrm{(min)}
      \approx 28,07^\circ$$
      Andererseits darf der Punkt $E$ nicht auf $F$ liegen; d.h. es gilt stets
      $\varepsilon<180^\circ$.\\
      Also gilt insgesamt: $\varepsilon\in[28,07^\circ;180^\circ[$.\\
      {\bf Anmerkung: } Es gilt eigentlich $\varepsilon\,\mathrm{(min)}=28,072\,
      486\ldots^\circ$, so dass die linke Intervallgrenze nicht exakt angegeben
      werden kann.
\item Im Dreieck $AEG$ gilt: $$\overline{GE}=\frac{2}{\tan\frac{\varepsilon}{2}}
      \quad\mathrm{.}$$
      $$A_D = 0,5\cdot\overline{AD}\cdot\overline{GE}=0,5\cdot4\cdot
      \frac{2}{\tan\frac{\varepsilon}{2}}\,\mathrm{cm^2}=\left( \frac{4}{\tan
      \frac{\varepsilon}{2}}\right)\,\mathrm{cm^2}\quad\mathrm{.}$$
\item Es muss gelten: $$A_D=\frac{1}{3}\cdot A(ABCD)$$
      $$\mathrm{Also:}\quad\frac{4}{\tan\frac{\varepsilon}{2}}=
      \frac{1}{3}\cdot32\quad \Leftrightarrow \quad\tan\frac{\varepsilon}{2}=
      \frac{12}{32}=\frac{3}{8}\quad\text{\bf (*)}\quad \Rightarrow 
      \quad\varepsilon\approx 41,11^\circ$$
\item $A_T=0,5\cdot (\overline{AB}+\overline{EF})\cdot\overline{AF}$ und 
      $$\overline{EF}=8\,\mathrm{cm}-\overline{GE}=\left(8-\frac{2}
      {\tan\frac{\varepsilon}{2}}\right)\,\mathrm{cm}$$   
      $$A_T=0,5\cdot \left(8+8-\frac{2}
      {\tan\frac{\varepsilon}{2}}\right)\cdot 2\,\mathrm{cm^2}\quad 
      \Leftrightarrow \quad A_T=\left( 16-\frac{4}{\tan
      \frac{\varepsilon}{2}}\right)\,\mathrm{cm^2}$$
\item Wir setzen $\tan\frac{\varepsilon}{2}=z$. Dann muss $A_D=A_T$ gelten:
      $$\frac{4}{z}=16-\frac{2}{z}\quad \Leftrightarrow \quad z=
      \tan\frac{\varepsilon}{2}=\frac{3}{8}$$
      Die "Ubereinstimmung mit der Gleichung {\bf(*)} in der L"osung der Aufgabe
      (d) ist damit errreicht.    
\end{enumerate}
}

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