
%
\ANG
{An das Quadrat $ABCD$ ist das gleichseitige Dreieck $DCE$ mit der Seitenl"ange $a$ angef"ugt worden.\\
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh033_a.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}= 4\,\mathrm{cm}$.
\item Zeige elementargeometrisch, also ohne Verwendung von Winkelfunktionen, 
      dass $\sphericalangle AEB = 30^\circ$ gilt.
\item Begr"unde anhand der Zeichnung, dass $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt 3$ gilt.
\item Best"atige das Ergebnis der Aufgabe (c) mit Hilfe des folgenden Additionstheorems f"ur die Tangens-Funktion,
      das in der Formelsammlung steht:
      \\
      
      \centerline{$\tan (\psi + \zeta) = \D\frac{\tan \psi + \tan\zeta}{1-\tan \psi\cdot\tan\zeta}$}
      \vspace{0.2cm}
      {\bf Tipp:} Zerlege das Winkelma"s $75^\circ$ so in zwei besondere Winkelma"se, dass sich jeweils deren 
      Tangens-Werte aus der Formelsammlung entnehmen lassen.

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh033_l1.1}
      \end{center}
\item In der Figur ist $EM$ die Symmetrieachse.\\
      Weil die Seitenl"ange des Quadrates $ABCD$ mit der des gleichseitigen Dreiecks $DCE$ "ubereinstimmt,
      sind die Dreiecke $AED$ und $EBC$ gleichschenklig und wegen der Symmetrie kongruent.\\
      Aus Symmetriegr"unden ist das Dreieck $ABE$ ebenfalls gleichschenklig.\\
      Weiter gilt: $\delta = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\quad\Rightarrow\quad \varepsilon = (180^\circ -
      150^\circ):2 = 15^\circ$.\\
      $\Rightarrow\quad\alpha = 90^\circ - \varepsilon = 75^\circ$ und $\varphi = 180^\circ - 2\cdot \alpha =
      30^\circ$\\
      Oder am Punkt $E$: $\varphi = 60^\circ - 2\cdot\varepsilon = 30^\circ$.
\item In der L"osung (b) steht: $\alpha = 75^\circ$.\\

      Im Dreieck $AME$ gilt: $\tan 75^\circ = \D\frac{\overline{EM}}{\overline{AM}} = 
      \D\frac{a+\D\frac{a}{2}\sqrt 3}{\D\frac{a}{2}} = 
      \D\frac{\D\frac{a}{2}\left(2 + \sqrt 3\,\right)}{\D\frac{a}{2}}$\\
      
      $\Rightarrow\quad \tan 75^\circ = 2 + \sqrt 3$
\item Es gilt: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Damit ist $\psi = 45^\circ$ und $\zeta = 30^\circ$\\
      Aus der Formelsammlung: $\tan 45^\circ = 1$ und $\tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt 3$\\
      
      $\Rightarrow\quad \tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \D\frac{1+\D\frac{1}{3}\sqrt 3}
      {1-1\cdot\D\frac{1}{3}\sqrt 3}\cdot \D\frac{3}{3} = \D\frac{3+\sqrt 3}{3-\sqrt 3}\cdot 
      \D\frac{3+\sqrt 3}{3+\sqrt 3}$\\
      $\Rightarrow\quad \tan 75^\circ = \D\frac{9+6\sqrt 3 + 3}{9-3} = \D\frac{12+6\sqrt 3}{6}
      =\D\frac{6\cdot (2+\sqrt 3)}{6}=2+\sqrt 3$
      
\end{enumerate}
}              

