\ANG{\mbox{}
\centerline{{\bf Ziegen gehen sich aus dem Weg}}
\begin{center}
\includegraphics{10eh039_01.1}
\end{center}
Auf einer kreisf"ormigen Weide sollen die Ziege \GF{Elsa} und gleichzeitig ihr angriffslustiger
Ziegenbock \GF{Lohengrin} grasen. Damit er dabei Elsa in Ruhe l"asst, wird Lohengrin mit einer 
Leine an einen Pfahl $P$, der am Rande der Weide eingeschlagen ist, so angebunden, dass den
beiden Tieren gleichgro"se Fl"achen zum Abweiden zur Verf"ugung stehen.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $r=4\,\mathrm{m}$ in einem geeigneten Ma"sstab.
\item Wie lang ist die Leine? {\bf Tipp:} Zerlege die Fl"ache, die \GF{Lohengrin} beansprucht, in
      geeignete Teilfl"achen.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Ma"sstab $1:100$
\begin{center}
\includegraphics{10eh039_l1.1}
\end{center}
\item $A_{\mathrm{Sektor}PAB}=\D\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot x^2\cdot\pi$\quad {\bf(1)}\\

      Dreieck $PMB$: $\mu = 180^\circ -2\alpha$\\
      Kosinussatz im Dreieck $PMB$:\\
      $x^2=2r^2-2r^2\cos\mu = 2r^2-2r^2\cos(180^\circ-2\alpha)$\\
      $x^2=2r^2+2r^2 \cos\alpha$\quad{\bf(2)}\\
      $x=r\sqrt 2\sqrt{1+\cos 2\alpha}$\quad{\bf(3)}\\
      
      {\bf(2)} in {\bf(1)}:\\
       $A_{\mathrm{Sektor}PAB}=\D\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot (2r^2+2r^2 
      \cos\alpha)\cdot\pi=\D\frac{\alpha}{180^\circ}r^2\pi+
      \D\frac{\alpha}{180^\circ}r^2\pi\cos 2\alpha$\quad{\bf(4)}\\
      
      Dazu muss die Fl"ache des Segments unterhalb der Sehne $[PB]$ addiert werden:\\
      \begin{tabular}{l c l}
      $A_{Segment}$ & = & $A_{Sektor MBP}-A_{\Delta MBP}$\\
		    &   & \\
                    & = & $\D\frac{\mu}{360^\circ}\cdot r^2\pi-\D\frac{1}{2}r^2\sin \mu$\\
		    &   & \\
		    & = & $\D\frac{180^\circ -2\alpha}{360^\circ}\cdot r^2\pi-
		           \D\frac{1}{2}r^2\sin (180^\circ-2\alpha)$\\
      		    &   & \\
      $A_{Segment}$ & = & $\D\frac{1}{2}r^2\pi-\D\frac{\alpha}{180^\circ}\cdot r^2\pi
                          -\D\frac{1}{2}r^2\sin 2\alpha$\quad {\bf(5)}	    
      \end{tabular}\\
      
      Sektor- und Segmentfl"ache ergeben zusammen [{\bf(4)}+{\bf(5)}] die halbe Weidefl"ache von
      \GF{Lohengrin}:
      
      
      $\left(\D\frac{\alpha}{180^\circ}r^2\pi+\D\frac{\alpha}{180^\circ}r^2\pi\cos 2\alpha\right)
      +\left(\D\frac{1}{2}r^2\pi-\D\frac{\alpha}{180^\circ}\cdot r^2\pi-\
      \D\frac{1}{2}r^2\sin 2\alpha\right)
      =\D\frac{1}{4}r^2\pi$\\
      
      Diese Gleichung l"asst sich vereinfachen zu:
      \begin{center}
      $2\sin 2\alpha - \D\frac{\alpha}{45^\circ}\pi\cos2\alpha = \pi\quad${\bf (*)}, wobei
      $\alpha$ in Grad angegeben wird.
      \end{center}
      Nat"urlich kommt es dabei nicht mehr auf die L"ange des Kreisdurchmessers an.\\
      Nun ist die L"osung der Gleichung {\bf (*)} nicht in geschlossener Form darstellbar. Das
      liegt daran, dass darin sowohl $\alpha$ als auch $\sin 2\alpha$ und $\cos2\alpha$ auftauchen.\\
      Mit dem SOLVER eines Taschenrechners ergibt sich: $\alpha\approx 54,59^\circ$.\\
      In {\bf(3)} eingesetzt erh"altst du die Leinenl"ange $x\approx r\cdot 1,16$. Das bedeutet: Die Leine
      ist etwa $16\,\%$ l"anger als der Kreisradius $r$.\\
      {\bf Anmerkungen:}
      \begin{itemize}
      \item Weil Lohengrins Leine um seinen Hals liegt, k"onnte er Elsa mit seinen H"ornern trotzdem
            noch "argern.
      \item Die Frage: \GF{Wie lang m"usste die Leine sein, damit Lohengrin $p\,\%$ der Kreisfl"ache
            erreichen kann?} ist durch eine leichte "Anderung der Gleichung {\bf (*)} zu beantworten.\\
      \end{itemize}
      
\end{enumerate}
}
