%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh063_a1.1}
      \end{center}
Gegeben ist das Quadrat $ABCD$ mit dem Mittelpunkt $M$ und der Diagonalenl"ange $d=10\,\mathrm{cm}$\,.\\
Dieses Quadrat wird nun um den Mittelpunkt $M$ mit dem Winkel $\varphi$ gedreht, wobei $\varphi\in\,]0^\circ;\,90^\circ[_{\RR}$ gilt.\\
Dadurch entstehen zum einen Quadrate $A_nB_nC_nD_n$ und zum anderen Achtecke $AA_nBB_nCC_nDD_n$\,.
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Zeichne das Quadrat $ABCD$ und seinen Umkreis.
\item Zeichne f"ur $\varphi=25^\circ$ das Quadrat $A_1B_1C_1D_1$ farbig ein.
\item Zeichne dazu das Achteck $AA_1BB_1CC_1DD_1$ in einer anderen Farbe.
\end{itemize}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Achtecke $AA_nBB_nCC_nDD_n$ gilt in Anbh"an\-gigkeit von $\varphi$:
      \begin{center}
      $A(\varphi)=50\cdot(\sin\varphi+\cos\varphi)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{center}
\item 
\begin{itemize}
\item Begr"unde rechnerisch: Es gilt ebenfalls
      \begin{center}
      $A(\varphi)=\D\frac{50}{\cos45^\circ}\,(\sin\varphi\sin45^\circ+\sin45^\circ\cos\varphi)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{center}
\item Vereinfache den in der obigen Zeile  dargestellten Term f"ur $A(\varphi)$ so weit wie m"og\-lich. Der Nenner vor der             Klammer soll dabei rational werden.
\item Unter allen Achtecken $AA_nBB_nCC_nDD_n$ gibt es das Achteck\\
      $AA_2BB_2CC_2DD_2$, dessen Fl"acheninhalt maximal wird.\\
      Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige Belegung von $\varphi$\,.
\item Berechne den Umfang $u$ des fl"achengr"o"sten Achtecks ohne zu runden.\\
      Zeige:\qquad$u=40\cdot\sqrt{\ldots}\,\,\mathrm{cm}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{Alle verlangten Zeichnungen:}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh063_l1.1}
      \end{center}
\item Die roten Achtecke setzen sich aus je vier kongruenten Dreiecken vom Typ $MAA_n$ und vom Typ $MA_nB$ zusammen.
      Weiter gilt: $\psi=90^\circ-\varphi$\,.
      \begin{eqnarray*}
      A(\varphi) & = & 4\cdot A_{MAA_n}+4\cdot A_{MA_nB}\\
                 & = & \left(4\cdot\D\frac{1}{2}\cdot5^2\cdot\sin\varphi+4\cdot\D\frac{1}{2}\cdot5^2\cdot\sin\psi\right)
                       \,\mathrm{cm^2}\\
                 & = & \left[50\cdot\sin\varphi+50\cdot\sin(90^\circ-\varphi)\right] \,\mathrm{cm^2}\\
      A(\varphi) & = & 50\cdot\left(\sin\varphi+\cos\varphi\right) \,\mathrm{cm^2}
      \end{eqnarray*}
\item 
\begin{itemize}
\item \begin{eqnarray*}
 A(\varphi)=  \D\frac{50}{\cos45^\circ}\,(\sin\varphi\sin45^\circ+\sin45^\circ\cos\varphi)\,\mathrm{cm^2}    & = & \\
             50\cdot\left(\sin\varphi\cdot\D\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}+
             \D\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}\cdot\cos\varphi\right)\,\mathrm{cm^2} & = &\\
             50\cdot\left(\sin\varphi\tan45^\circ+\cos\varphi\tan45^\circ\right)\,\mathrm{cm^2}\,.
      \end{eqnarray*}
      Wegen $\tan45^\circ=1$ ergibt sich die L"osung von (b).
\item \begin{eqnarray*}
      A(\varphi) & = & \D\frac{50}{\cos45^\circ}\cdot(\sin\varphi\sin45^\circ+\sin45^\circ\cos\varphi)\,\mathrm{cm^2}\\
                 & = & \D\frac{50}{\frac{1}{2}\sqrt2}\sin(45^\circ+\varphi)\,\mathrm{cm^2}\,.\\
      \text{Also gilt:\quad} A(\varphi) & = &50\cdot\sqrt2\cdot\sin(45^\circ+\varphi)\,\mathrm{cm^2}\,.
      \end{eqnarray*}
\item $A(\varphi)$ wird maximal, wenn $\sin(45^\circ+\varphi)$ maximal wird;\\
      d.h. wenn $\sin(45^\circ+\varphi)$ den Wert 1 annimmt. Das ist im Definitons\-be\-reich der Fall, wenn $\varphi=45^\circ$ gilt.\\
Der maximale Fl"acheninhalt betr"agt dann $50\cdot\sqrt2\,\mathrm{cm^2}\approx70,71\,\mathrm{cm^2}$\,.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh063_l2.1}
      \end{center}
Kosinussatz im Dreieck $MAA_2$: $x^2=\left(5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot\cos45^\circ\right)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$\Leftrightarrow\quad$ $ x^2=\left[25\cdot(2-\sqrt2)\right]\,\mathrm{cm}\quad\Leftrightarrow\quad x=5\cdot\sqrt{2-\sqrt2}\,\,\mathrm{cm}$\,.\\

Aus Symmetriegr"unden gilt: $u=8x=40\cdot\sqrt{2-\sqrt2}\,\mathrm{cm}\quad(\approx 30,61\,\,\mathrm{cm})$\,.
\end{itemize}
\end{enumerate}
 
}
