%
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\ANG
{
	Die Parabel~$p$ mit der Gleichung ~$y=2{,}5\,x^2$~ wird am Zentrum~$Z$ mit dem Streckungsfaktor~$k$
	auf die Parabel~$p'$ mit der Gleichung ~$y=-0{,}5\,x^2$~ abgebildet.
	\begin{enumerate}
	\item 	Begr"unde, dass~$Z$ nur im Koordinatenursprung liegen kann!
	\item 	Berechne den Streckungsfaktor~$k$\,!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Ur- und Bildparabel besitzen den gleichen Scheitel~$S\,(0\,|\,0)=S\,'$.
			Bei jeder zentrischen Streckung ist aber $Z$ der einzige Fixpunkt, womit also das
			Streckungs\-zentrum~$Z=S=S\,'$ im Ursprung liegen muss.   
	\item 	Du k"onntest jetzt die Koordinaten eines konkreten Punktes, z.\,B. $(1\mid2{,}5)$ auf der Ur\-parabel,
			abbilden und dessen Bildkoordinaten in die Gleichung der Bildparabel einsetzen.
			Wir leiten jedoch gleich eine allgemeine Beziehung her, die du f"ur analoge F"alle "ubernehmen kannst:
			\begin{center}
				$P(x\mid a\,x^2)\,\stackrel{Z;\,\,k}{\hbox to 60 pt{\rightarrowfill}}\,P\,'(x\,'\mid y\,')$
			\end{center}
			Mit $\overrightarrow{ZP\,'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}$ und $k\neq 0$ folgt:\\
			$${x\,'-0\choose y\,'-0}=k\cdot{x-0\choose a\,x^2-0}$$
			\begin{tabular}{l l c c r}
			(1)~~			&$x\,'=k\cdot x\quad\iff\quad x=\tfrac{x\,'}{k~}$\\
			(2)$\wedge$		&$y\,'=k\cdot a\,x^2$\\
			\hline
			$(1)$ in $(2)$	&$y\,'=k\cdot a\cdot\left(\tfrac{x\,'}{k~}\right)^2\quad\iff\quad y\,'=\frac{a}{k}\cdot x\,'\,^2$
			\end{tabular}\\
			~\\
			Somit ergibt sich f"ur den Formfaktor $a\,'$ der Bildparabel $p\,'$:
			~\framebox[1.2\width]{\parbox{0.1\textwidth}{\centerline{$a\,'=\D\frac{a}{k}$}}}\\
			$\Rightarrow\quad k=\frac{a~}{a\,'}$\quad also\,:\quad $k=\frac{~2{,}5}{-0{,}5}=-5$.
	\end{enumerate}
}
