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\ANG{
Gegeben sind die Parabel $p$ durch die Gleichung $y = -0,5x^2 - 3x - 1$ und die Gerade $g$ 
durch die Gleichung 
$y = -0,5x - 4$ auf $\GG = \RR \times \RR$. Der Punkt $\EPUNKT{B}{-4}{-2}$ liegt auf der Geraden $g$.\\
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
\begin{center}
\includegraphics{10eh016_01.1}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Auf der Parabel $p$ wandern sowohl Punkte $A_n$ mit dem Abszissenwert $x$
      als auch Punkte $C_n$, wobei der Abszissenwert der Punkte $C_n$ stets um 3 gr"o"ser als der
      Abszissenwert $x$ der Punkte $A_n$ ist.\\
      Dabei werden laufend Dreiecke $A_nBC_n$ erzeugt.
      Im Dreieck $A_1BC_1$ besitzt der Abszissenwert des Punktes $C_1$  den Wert $-2$. 
		Zeichne dieses Dreieck ein.
\item Berechne die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abh"angigkeit vom
      $x$-Wert der Punkte $A_n$.
      
      \centerline{[ Ergebnis: $C_n( x+3 | -0,5x^2 - 6x - 14,5 )$ ]}
\item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Dreiecke $A_nBC_n$ ergibt sich in Abh"angigkeit von $x$:
      \centerline{ $A(x) = (0,75x^2 + 8,25x + 28,5)\,\mathrm{cm^2}$ }
      Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es die beiden Dreiecke $A_2BC_2$ und $A_3BC_3$, deren 
		Punkte $C_2$ und $C_3$
      auf der Geraden $g$ liegen.\\
      Berechne den Fl"acheninhalt dieser beiden Dreiecke.
\item Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es das Dreieck $A_4BC_4$, dessen Seite $[A_4C_4]$ 
		parallel zur $x$-Achse liegt.\\
      Berechne die zugeh"orige Belegung von x.     
\item Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es das Dreieck $A_5BC_5$, dessen Seite $[A_5C_5]$ 
		parallel zur Geraden $g$ 
      liegt.\\
      Berechne das Ma"s $\gamma$ des Winkels $A_5C_5B$ dieses Dreiecks.
      
      \centerline{[ Teilergebnis: $x=-4$ ]}
      
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
      \item Wenn der Punkt $C_1$ den $x$-Wert -2 besitzt, dann muss der Punkt $A$ den $x$-Wert -5 besitzen:
           \begin{center}
           \includegraphics{10eh016_02.1}
           \end{center}
      \item $x_C = x+3$ wird in den Rechtsterm der Parabelgleichung von $p$ eingesetzt, weil $C_n\in p$ gilt:\\
            $y_C = -0,5(x+3)^2-3(x+3)-1=-0,5(x^2+6x+9)-3x-9-1=-0,5x^2-3x-4,5-3x-10=-0,5x^2-6x-14,5$.
      \item Die Punkte $C_2$ und $C_3$ m"ussen auf den beiden Schnittpunkten $P$ und $Q$ der Parabel $p$ und der 
            Geraden $g$ liegen:\\
            $p\cap g: -0,5x^2 - 3x -1 = -0,5x - 4\quad\Rightarrow\quad D^*=12,25\\
	    \cdots\quad\Rightarrow\quad x_2=-6\quad x_3=1$. Eingesetzt in den Fl"achenterm:\\
	    $A(-6)=(0,75\cdot (-6)^2+8,25\cdot(-6)+28,5)\,\mathrm{cm^2}=6\,\mathrm{cm^2}$\\
	    $A(1)=(0,75\cdot 1^2+8,25\cdot1+28,5)\,\mathrm{cm^2}=37,5\,\mathrm{cm^2}$\\
      \item \mbox{}
           \begin{center}
           \includegraphics{10eh016_03.1}
           \end{center}
	   Die Punkte $A_4$ und $C_4$ haben zur $x$-Achse den gleichen Abstand. Folglich ist ihr $y$-Wert der gleiche:\\
	   $-0,5x^2-3x-1=-0,5x^2-6x-14,5\quad\Rightarrow\quad\cdots\quad x=-4,5$.
      \item \mbox{}
           \begin{center}
           \includegraphics{10eh016_04.1}
           \end{center}
	   Der Steigungsfaktor der Strecke $[A_5C_5]$ muss mit dem der Geraden $g$ "ubereinstimmen:\\
	   
	   $\D\frac{(-0,5x^2-6x-14,5)-(-0,5x^2-3x-1)}{(x+3)-x}=\D\frac{-3x-13,5}{3}=-0,5$\\
	   $\cdots\quad\Rightarrow\quad x=-4$.\\
	   
	   Damit sind alle Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks $A_5BC_5$ bekannt:\\
	   $\EPUNKT{A_5}{-4}{3}$, $\EPUNKT{B}{-4}{-2}$ und $\EPUNKT{C_5}{-1}{1,5}$.\\
	   
	   1. M"oglichkeit: Berechne alle Streckenl"angen im Dreieck $A_5BC_5$ und wende den Kosinussatz an.\\
	   
	   2. M"oglichkeit:\\
	   Du siehst, dass $\gamma$ und $\gamma^*$ gleich gro"s sind (Z-Winkel).\\
	   Die H"ohe $[BH]$ zerlegt den Winkel mit dem Ma"s $\gamma^*$ in zwei Teilwinkel, deren Ma"s jeweils in den
	   rechtwinkligen Dreiecken $BHC_5$ und $RHB$ mit dem Tangens berechnet werden kann.\\
	   $\tan\sphericalangle HBC_5=\D\frac{3,5}{3}\quad\Rightarrow\quad\sphericalangle HBC_5\approx 49,40^\circ$.\\
	   $\tan\sphericalangle RBH=\D\frac{1,5}{3}\quad\Rightarrow\quad\sphericalangle RBH\approx 26,57^\circ$.
	   Also gilt: $\gamma\approx 75,97^\circ$. 	   
           
\end{enumerate}
}

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