%
%
\ANG
{Die nach unten ge"offnete Normalparabel $p_1$ besitzt den Scheitel $S_1(3\mid5)$.\\
Die Gleichung einer weiteren Parabel $p_2$ hat die Form $y = ax^2 - x + c$ und sie verl"auft durch die Punkte $P(-0,4\mid -1,56)$ und $Q(0,8\mid -2,64)$.\\
Im Koordinatensystem sind Ausschnitte der beiden Parabeln dargestellt:
\begin{center}
      \includegraphics{10eh018_1.1}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Zeige: Die Parabel $p_1$ hat die Gleichung $y=-x^2 + 6x - 4$.\\
      Zeige: Die Parabel $p_2$ hat die Gleichung $y=0,25x^2 - x - 2$.
\item Auf der Parabel $p_1$ wandern Punkte $D_n(x\mid -x^2 + 6x - 4)$ und auf der Parabel $p_2$ wandern Punkte $A_n$ mit jeweils dem gleichen   Abszissenwert wie die Punkte $D_n$.
Dadurch werden achsensymmetrische Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ mit den folgenden Eigenschaften erzeugt:
      \begin{itemize}
      \item $[A_nD_n] \parallel [B_nC_n]$
      \item die Strecken $[B_nC_n]$ liegen stets rechts von den Strecken
            $[A_nD_n]$
      \item Die Seiten $[B_nC_n]$ sind jeweils $4\,\mathrm{cm}$ lang.
      \item Der Abstand der beiden jeweils parallelen Trapezseiten betr"agt       stets $4\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}
Zeichne f"ur $x=4$ das Trapez $A_1B_1C_1D_1$ ein.
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$: $A(x)=(-2,5x^2+14x +4)\,\mathrm{cm^2}$.
\item Untersuche, ob es unter allen Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ eines gibt, das einen Fl"acheninhalt von $24\,\mathrm{cm^2}$ aufweist.
\item Wie viele Quadrate gibt es als Sonderfall unter allen Trapezen $A_nB_nC_nD_n$? Begr"unde deine Antwort.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Jede nach unten ge"offnete Normalparabel hat den Formfaktor $a=-1$.\\
Mit $S_1(3\mid5)$ folgt f"ur $p_1: y = -(x-3)^2+5=-(x^2-6x+9)+5=-x^2+6x-4$.\\

\begin{tabular}{l c l c l c l}
$A(-0,4\mid -1,56)$ & in $p_2$ : & $-1,56$ & = & $0,16a + 0,4 + c$ & (1) &\\
$B(-0,8\mid -2,64)$ & in $p_2$ : & $-2,64$ & = & $0,64a - 0,8 + c$ & (2)
& $\,\mid\cdot (-1)$\\
\hline\\
                    &            & $2,64$ & = & $-0,64a + 0,8 - c$ &(2)'\\
        	    & (1) + (2)':& $1,08$ & = & $-0,48a + 1,2$    & &
\end{tabular}
$\Rightarrow\quad a=0,25\quad$ in (1): $-1,56=0,04+0,4+c$\\
$\Rightarrow\quad c=-2\quad\Rightarrow\quad p_2: y = 0,25x^2-x-2$
\item \mbox{}
\begin{center}
      \includegraphics{10eh018_2.1}
\end{center}
\item F"ur alle Punkte $D_n$, die jeweils "uber ihrem zugeh"origen Punkt $A_n$ liegen, gilt (Einheiten werden zun"achst weggelassen):\\
$\overline{A_nD_n}(x)=(-x^2 + 6x - 4)-(0,25x^2-x-2)=\ldots =-1,25x^2+7x-2$\\
F"ur den Fl"acheninhalt der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gilt dann:\\
$$A(x)=\frac{(-1,25x^2+7x-2)+4}{2}\cdot 4 = 2\cdot(-1,25x^2+7x-2)$$
$\Rightarrow\quad A(x)=(-2,5x^2+14x +4)\,\mathrm{cm^2}$.
\item 1. M"oglichkeit:\\
$-2,5x^2+14x +4=24\quad\Leftrightarrow\quad -2,5x^2+14x-20=0$\\
Diskriminante: $D^*=-4<0$. Ein solches Trapez gibt es nicht.\\
2. M"oglichkeit:\\
Zur L"osung der Aufgabe wird der Extremwert des Fl"achenterms
\begin{center}
{$-2,5x^2+14x +4$}
\end{center}
 "uber die Scheitelkoordinaten der zugeh"origen Parabel $p^*$ errechnet:\\ 
 $p^*:\, y=-2,5x^2+14x+4\quad\Rightarrow\quad S^*(2,8\mid 23,6)$.\\
Also lautet der Antwortsatz zum Extremwertproblem
"`$x=2,8$ liefert die maximale Trapezl"ache $23,6\,\mathrm{cm^2}$."' 
Deshalb kann es kein Trapez mit einem noch gr"o"seren Fl"acheninhalt, 
wie z.B. $24\,\mathrm{cm^2}$ geben.
\item 1. M"oglichkeit (rechnerisch):\\
In c) wurde schon $\overline{A_nD_n}(x)=(1,25x^2+7x-2)\,\mathrm{cm}$ errechnet.\\
Soll eines der Trapeze zum Quadrat werden, dann m"ussen alle Seiten gleich lang sein. Insbesondere gilt dann: $\overline{A_nD_n}=\overline{B_nC_n}=4\,\mathrm{cm}$\\
Also: $1,25x^2+7x-2=4\quad\Leftrightarrow\quad 1,25x^2+7x-6=0$\\
Diskriminante: $D^*=79>0$. Also gibt es zwei L"osungen und damit zwei Quadrate.\\
2. M"oglichkeit(anschaulich):\\
Nur dann, wenn die Strecken $[A_nD_n]$ zwischen den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ der Parabeln $p_1$ und $p_2$ bleiben, gibt es solche Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ (ansonsten gibt es zwei Dreiecke oder "uberschlagene Trapeze). Wenn Quadrate dabei sein sollen, dann m"ussen deren Seiten genau so wie alle Strecken $[B_nC_n]$ $4\,\mathrm{cm}$ lang sein.\\
Am Schnittpunkt $S_1$ ist eine der Strecken $[A_nD_n]$ zum Punkt entartet, also $0\,\mathrm{cm}$ lang. Auf ihrer Wanderbewegung nach rechts werden dann die Strecken $[A_nD_n]$ immer l"anger, bis sie einen maximalen Wert erreichen. Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass dieser Maximalwert l"anger als $7\,\mathrm{cm}$ ist. Also wird dazwischen sicher eine Seitenl"ange von $4\,\mathrm{cm}$ angenommen.\\
Nachdem die maximale Streckenl"ange von mehr als $7\,\mathrm{cm}$ erreicht worden ist, nehmen die Steckenl"angen $[A_nD_n]$ bis zum Schnittpunkt $S_2$ der beiden Parabeln (die dortige Streckenl"ange betr"agt wieder $0\,\mathrm{cm}$) st"andig ab. Also muss auf dem Weg dorthin eine der Strecken $[A_nD_n]$ erneut $4\,\mathrm{cm}$ lang geworden sein.\\
Also gibt es unter den Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ zwei Quadrate.
\end{enumerate}
}

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