% 10. Klasse I und II trig. F. in der Ebene; ähnliche Dreiecke
% +10jk0011.eps + 10jk0012.eps
\ANG{\mbox{}
      \begin{center}
      \EPSBASIS{10jk0011}{5cm}{}
      \end{center}
In der obigen Figur ist $ABCD$ ein Quadrat mit der Seitenl"ange
$6\,\mathrm{cm}$. Es gilt: $\overline{AE}=\overline{EF}=\overline{FB}$ und
$\sphericalangle ESF = \varepsilon$.\\
Die Punkte $G$ und $H$ sind auf $[CD]$ beweglich und es gilt
$\overline{DH}=\overline{GC}= x\,\mathrm{cm}$.\\
{\bf Hinweis: } Gegebenenfalls sind Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma
zu runden.
\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
      \item Zeichne die Figur f"ur $x=1,2$.
      \item Berechne das zugeh"orige Winkelma"s $\varepsilon$.\\
            {\bf Hinweis: }Zeichne vom Punkt $G$ aus eine Hilfsline so ein, dass
	    du die Aufgabe mit Hilfe von "ahnlichen Dreiecken l"osen kannst.
      \end{itemize}
\item Berechne $x$ so, dass das Dreieck $EFS$ gleichseitig wird.
\item Untersuche elementargeometrisch (d.h. ohne die Verwendung
      trigonometrischer Funktionen), ob es unter den Dreiecken $EFS$ ein
      gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck gibt.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
      \item --
      \item \mbox{}
            \begin{center}
            \EPSBASIS{10jk0012}{5cm}{}
            \end{center}
	    Die gesuchte Hilfslinie ist das Lot $[GT]$ vom Punkt $G$ auf die
	    Seite $[AB]$.\\
            Es gilt$\sphericalangle EGT = \frac{\varepsilon}{2}$ (Z-Winkel) und 
            $\overline{ET}=(4-1,2)\,\mathrm{cm}=2,8\,\mathrm{cm}$.\\
            Im Dreieck $ETG$ gilt dann\\
	    $\tan\frac{\varepsilon}{2}=\frac{2,8}{6}\quad\Rightarrow\quad
	    \frac{\varepsilon}{2} \approx 25,02^\circ\quad\Rightarrow\quad
	    \varepsilon\approx 50,04^\circ$.
      \end{itemize}
\item In diesem Fall muss $\varepsilon = 60^\circ = \sphericalangle FEG$ 
      gelten.\\
      Dann gilt im Dreieck $EFG$: $\overline{ET}=(4-x)\,\mathrm{cm}$.\\
      $$\tan 60^\circ = \frac{\overline{GT}}{\overline{ET}}=\frac{6}{4-x}
      =\sqrt3\quad\Leftrightarrow\quad x=4-2\sqrt3\approx 0,54$$.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \EPSBASIS{10jk0013}{5cm}{}
      \end{center}
      Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck $EFS$ wird dadurch erzeugt,
      dass man den THALES-Halbkreis "uber $[EF]$ mit der Symmetrieachse $[PQ]$
      schneidet.\\
      Die Halbgerade $[ES]$ m"usste die Seite $[CD]$ im Punkt $G$ schneiden. Das
      ist offenbar nicht der Fall. Also kann das Dreieck $EFS$ nie
      gleichschenklig-rechtwinklig werden.
      
\end{enumerate}
}

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