
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{10eh028_a.1}
\end{center}
Herr Lieche hat zu seinem rechteckigen Grundst"uck $ABCD$ mit $\overline{AB}=80\,\mathrm{m}$ und 
$\overline{AD}=50\,\mathrm{m}$ noch einen Teil $BEC$ des Nachbargrundst"uckes mit
$\overline{BE}=50\,\mathrm{m}$ hinzugekauft (siehe Abbildung oben).
\begin{enumerate}
\item Der Kreisbogen GF besitzt den Mittelpunkt $B$ und einen Radius von $40\,\mathrm{m}$.\\
      Zeichne die Figur im Ma"sstab $1:1000$.
\item Auf der Strecke $[DE]$ sollen B"usche im Abstand von $1\mathrm{m}$ gepflanzt werden. Wie viele B"usche
      kann Herr Lieche h"ochstens darauf unterbringen?
\item Vom  Punkt $H$ aus soll ein m"oglichst kurzer $1\,\mathrm{m}$ breiter Weg zur Grundst"ucksgrenze $[CE]$
      angelegt werden. Auf dem geplanten Weg wird zun"achst das Erdreich bis zu einer Tiefe von 
      $0,4\,\mathrm{m}$ ausgehoben und
      wegtransportiert. Wie viele $\mathrm{m^3}$ Erdreich sind das ungef"ahr?
\item Die grau gef"arbte Fl"ache soll mit eng aneinander liegenden Granitplatten belegt werden.
      Wie viele \EUR{} muss Herr Lieche mindestens daf"ur ausgeben, wenn der Quadratmeterpreis 
      22\,\EUR{} betr"agt?\\
      \centerline{[ Teilergebnis: $\overline{HB}\approx 19,2\,\mathrm{m}$ ]}
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh028_l01.1}
      \end{center}
\item $\overline{DE}\,^2=130\,\mathrm{m^2}+50\,\mathrm{m^2}\quad\Rightarrow\quad\overline{DE}
      \approx 139,3\,\mathrm{m}$\\
      Wenn Herr Lieche den ersten Busch auf den Punkt $D$ oder auf den Punkt $E$ setzt, dann braucht er 140
      B"usche, denn der 1. Busch steht dann nach $0\,\mathrm{m}$ da, der 2. Busch nach
      $1\,\mathrm{m}$ und schlie"slich der 140. Busch nach $139\,\mathrm{m}$.\\
      Wenn er gen"ugend weit innen mit dem ersten Busch beginnt, dann braucht er weniger B"usche. Also
      braucht er h"ochstens 140 B"usche.
\item Weil hier nur nach dem ungef"ahren Erdaushub gefragt ist, gen"ugt es, die k"urzeste Wegl"ange, n"amlich
      die Strecke $[HK]$ aus der Zeichnung herauszumessen: $\overline{HK}\approx 2,2\,\mathrm{cm}$. Das
      entspricht einer tats"achlichen Wegstrecke von ca. $22\,\mathrm{m}$.\\
      Also errechnet sich der Erdaushub aus: $1\,\mathrm{m}\cdot 0,4\,\mathrm{m}\cdot 22\,\mathrm{m}\approx
      8,8\,\mathrm{m^3}$\\
      {\bf Anmerkung:}\\
      Es gibt nat"urlich auch einen rechnerischen Weg zur L"osung, der hier jedoch in der Aufgabenstellung nicht
      zwingend vorgeschrieben ist:\\
      Die beiden Dreiecke $BEC$ und $CHK$ sind gleichschenklig-rechtwinklig und damit ist z.B. das Dreieck $CHK$
      ein halbes Quadrat. Wenn die Streckenl"ange $\overline{CH}$ bekannt ist, dann ergibt sich:
      $\overline{HK}=\D\frac{\overline{CH}}{\sqrt 2}$.\\
      In der L"osung zur Aufgabe (d) wird die Streckenl"ange $\overline{HB}$ berechnet. Damit w"are mit 
      $\overline{CH}= 50\,\mathrm{m}-\overline{HB}$ alles erledigt.
\item Die beiden Dreiecke $AED$ und $BEH$ sind zueinander "ahnlich. Wende z.B. den Vierstreckensatz an:\\

      $\D\frac{\overline{HB}}{\overline{AD}}=\D\frac{\overline{BE}}{\overline{AE}}\quad\Rightarrow\quad
      \D\frac{\overline{HB}}{50\,\mathrm{m}}=\D\frac{50}{130}\quad\Rightarrow\quad
      \overline{HB}\approx 19,2\,\mathrm{m}$\\
      
      {\bf [ Anmerkung:}\\
      Du kannst auch vom Dreieck $AED$ mit $\tan\sphericalangle DEA=\frac{50}{130}
      \quad\Rightarrow\quad\sphericalangle DEA=\sphericalangle HEB\approx 21,04^\circ$
      in das Dreieck $HBE$ wandern:\\
      $\tan21,04^\circ\approx\frac{\overline{CH}}{50}$\\
      Auch daraus ergibt sich (n"aherungsweise) der Wert f"ur die Streckenl"ange $\overline{HB}$.\\
      Dieser Rechenweg stellt aber nur eine etwas umst"andlichere Form des Vierstreckensatzes dar. ]\\
      
      $\Delta HBE: \tan\varepsilon\approx\D\frac{50}{19,2}\quad\Rightarrow\quad\varepsilon\approx 68,99^\circ$
      und $\delta=180^\circ-\varepsilon\approx 111,01^\circ$\\
      
      $\Delta GBH :\D\frac{\sin\gamma}{19,2}\approx\D\frac{\sin 111,01^\circ}{40}\quad\Rightarrow\quad
      \gamma\approx 26,62^\circ$\\
      
      und $\beta\approx 180^\circ-111,01^\circ-26,62^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta\approx 42,37^\circ$\\
      
      $A_{\Delta GBH}\approx 0,5\cdot 40\cdot 19,2\cdot\sin 42,37^\circ\mathrm{m^2}\quad\Rightarrow\quad
      A_{\Delta GBH}\approx 258,8\mathrm{m^2}$\\
      
      $\mu = 90^\circ -\beta\approx 47,63^\circ$\\
      
      $A_{Sektor BGF}\approx\D\frac{47,63^\circ}{360^\circ}\cdot 40^2\cdot\pi\quad\Rightarrow\quad
      A_{Sektor BGF}\approx 665,0\,\mathrm{m^2}$\\
      
      Zu pflasternde Fl"ache: $A_{ges}\approx 923,8\,\mathrm{m^2}$\\
      
      Bei einem Quadratmeterpreis von 22\,\EUR{} muss Herr Lieche mindestens 20324\,\EUR{} f"ur die Platten
      ausgeben.
\end{enumerate}
}              

