%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh041_a1.1}
      \end{center}
Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB]$. Der Inkreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$
ber"uhrt die Dreiecksseiten in den Punkten $D$, $E$ und $F$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=9\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=65^\circ$.
\item 
     \begin{itemize}
     \item Zeichne das Viereck $ADMF$ ein.
     \item Zeige: $\psi=\alpha$.
     \end{itemize}
\item 
     \begin{itemize}
     \item Zeige: F"ur das Verh"altnis der Fl"acheninhalte der Dreiecke $DEF$ und $ABC$ gilt:
           \begin{center}   
           $\D\frac{A_{\Delta DEF}}{A_{\Delta ABC}}=\cos\alpha(1-\cos\alpha)$.
	   \end{center}
	   \vspace{0.2cm}
     \item Welche besondere Form h"atten die Dreiecke $ABC$ und $DEF$, wenn der Fl"achenanteil des
           Dreiecks $DEF$ an dem des Dreiecks $ABC$ maximal sein soll?
     \end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh041_l1.1}
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item Siehe obige Zeichnung.
      \item Das Viereck $ADMF$ ist ein achsensymmetrischer Drachen, denn die Diagonale $[AM]$ ist
            die Halbierende des Winkels mit dem Ma"s $\alpha$ und damit die Symmetrieachse
	    dieses Vierecks.\\
            Das Dreieck $ADS$ ist rechtwinklig, weil die beiden Diagonalen in jedem Drachenviereck
            senkrecht aufeinander stehen:\\
            $\varphi_1=90^\circ-\D\frac{\alpha}{2}=\varphi_2\quad$.      
            Weiter muss gelten:
            $\varphi_1+\varphi_2+\psi=180^\circ\\
            \Rightarrow\quad\psi= 180^\circ-2\cdot\left(90^\circ-\D\frac{\alpha}{2}\right)
            \quad\Rightarrow\quad\psi=\alpha$.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Mit $\overline{CA}=\overline{CB}=a$ gilt:
            $A_{ABC}=\D\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot\sin\gamma$.\\
      
            $A_{ABC}=\D\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot\sin (180^\circ-2\alpha)
	    =\D\frac{1}{2}a^2\cdot\sin 2\alpha=\D\frac{1}{2}a^2\cdot2\sin \alpha\cos\alpha$
            \begin{center}
	    \fbox{$A_{\Delta ABC}=a^2\sin\alpha\cos\alpha$}\qquad{\bf (*)}
	    %\fbox{\parbox{0.3\textwidth}{$$A_{\Delta ABC}=a^2\sin\alpha\cos\alpha$$}}
	    %\qquad{\bf (*)}
            \end{center}
	    $A_{\Delta DEF}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{FD}\,^2\sin\alpha$\qquad{\bf (**)}
	    
	    Wende im Dreieck $ADF$ den Kosinussatz an:
	    
	    $\overline{FD}\,^2=\left(\D\frac{c}{2}\right)^2+\left(\D\frac{c}{2}\right)^2
	    -2\cdot\D\frac{c}{2}\cdot\D\frac{c}{2}\cdot\cos\alpha=
	    2\cdot\D\frac{c\,^2}{4}\cdot(1-\cos\alpha)$\quad in {\bf (*)}:\\
            \begin{center}
	    \fbox{$A_{DEF}=\D\frac{c\,^2}{4}\cdot(1-\cos\alpha)\sin\alpha$}
            \end{center}
	    
	    $\D\frac{A_{\Delta DEF}}{A_{\Delta ABC}}=
	    \D\frac{\D\frac{c\,^2}{4}\cdot(1-\cos\alpha)\sin\alpha}
	    {a\,^2\sin\alpha\cos\alpha}=\left(\D\frac{\D\frac{c}{2}}{a}\right)^2
	    \cdot\D\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}$\\
	    
	    Im Dreieck $ADC$ gilt: $\D\frac{\D\frac{c}{2}}{a}=\cos\alpha$\\
	    
	    $\Rightarrow\quad\D\frac{A_{\Delta DEF}}{A_{\Delta ABC}}=
	    \cos^2\alpha\cdot\D\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha(1-\cos\alpha)$\\
	    
	    Dabei darf aber $\alpha$ nicht $90^\circ$ werden. {\bf (Warum?)}
      \item $T(\alpha)=\cos\alpha(1-\cos\alpha)=-\cos^2\alpha+\cos\alpha=
            -\left(\cos\alpha-\D\frac{1}{2}\right)^2+\D\frac{1}{4}$\\
	    
	    $\cos\alpha=\D\frac{1}{2}$ liefert $T_{max}=\D\frac{1}{4}$\\
	    
	    Dann muss aber $\alpha=60^\circ$ gelten; d.h. in diesem Fall sind die Dreiecke $ABC$ und
	    $DEF$ jeweils gleichseitig. Das innere Dreieck nimmt $25\%$ der Gesamtfl"ache ein.
	    Das sieht dann so aus:
            \vspace{0.4cm}
            \begin{center}
            \includegraphics{10eh041_l2.1}
            \end{center}
	    
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

