%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh054.1}
      \end{center}
Der Mittelpunkt des Halbkreises ist $M$.
Weiter gilt: $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$, $\alpha=68^\circ$ und $\beta=55^\circ$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur. Platzbedarf "uber $[AB]$: $9\,\mathrm{cm}$.
\item \begin{itemize}
            \item Zeige: $\sphericalangle QMP = 66^\circ$.
            \item Zeige: Die Strecke $[PQ]$ ist (gerundet) $4,36\,\mathrm{cm}$ lang.
      \end{itemize}
\item Berechne den Fl"acheninhalt $A$ des Dreiecks $MQP$.
\item Der Schnittpunkt der Halbgeraden $[AP$ und $[BQ$ ist der Punkt $C$.
      \begin{itemize}
      \item Zeichne das Dreieck $ABC$ ein.
      \item Berechne den Fl"acheninhalt $A^*$ des Dreiecks $ABC$.
      \item Berechne den Abstand $d$ des Punktes $C$ von der Grundseite $[AB]$.
      \end{itemize}

\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh054_l1.1}
      \end{center}
\item \begin{itemize}
            \item Das Dreieck $AMP$ ist gleichschenklig; d.h. $\overline{MA}=
	          \overline{MP}=4\,\mathrm{cm}$.\\
		  $\Rightarrow\quad\varphi_1=68^\circ\quad\Rightarrow\quad
		  \mu_1=180^\circ-2\cdot68^\circ =44^\circ$.\\
		  Ebenso ist das Dreieck $MBQ$ gleichschenklig:
		  $\overline{MB}=\overline{MQ}=4\,\mathrm{cm}$.\\
		  $\Rightarrow\quad\psi_1=55^\circ\quad\Rightarrow\quad
		  \mu_2=180^\circ-2\cdot55^\circ =70^\circ$.\\
		  $[\,${\bf Exkurs:} Auf analoge Weise am Punkt $P$ bzw. $Q$ erh"altst du:\\
		  $\varphi_3=55^\circ=\beta$ und $\psi_3=68^\circ=\alpha\,]$.\\
	          Am Punkt $M$ gilt also: $\mu_3=\sphericalangle QMP =
		  180^\circ-44^\circ-70^\circ=66^\circ$.
            \item Kosinussatz im Dreieck $PMQ$:\\
	          $\overline{PQ}^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\cos66^\circ\quad\Rightarrow\quad
		  \overline{PQ}\approx4,36\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}
\item Das Dreieck $PMQ$ ist ebenfalls gleichschenklig; d.h. $\overline{MQ}=
	          \overline{MP}=4\,\mathrm{cm}$.\\
		  $\Rightarrow\quad\varphi_2=\psi_2=57^\circ$.
      
      $A_{\Delta\,PMQ}=\D\frac{1}{2}\cdot\ 4^2\cdot\sin66^\circ\approx 7,31\,\mathrm{cm^2}$.
\item Der Schnittpunkt der Halbgeraden $[AP$ und $[BQ$ ist der Punkt $C$.
      \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Es gilt: $\gamma=180^\circ-55^\circ-68^\circ=57^\circ$.\\
            Sinussatz im Dreieck $ABC$:\\
	    
	    $\D\frac{\sin 55^\circ}{\overline{AC}}=\D\frac{\sin
	    57^\circ}{\overline{8\,\mathrm{cm}}}
	    \quad\Rightarrow\quad\overline{AC}\approx 7,81\,\mathrm{cm}$.\\
	    
	    $\Rightarrow\quad A^*_{\Delta\,ABC}
	    \approx\D\frac{1}{2}\cdot8\cdot7,81\cdot\sin68^\circ\,\mathrm{cm^2}
	    \approx 28,97\,\mathrm{cm^2}$.
	    
      \item Siehe Zeichnung: Der gesuchte Abstand $d$ ist die L"ange der Dreiecksh"ohe $[CF]$.\\
            F"ur den Fl"acheninhalt $A^*$ des  Dreiecks $ABC$ gilt:\\
	    
	    $A^*=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot d$.
	    
	    $\Rightarrow\quad
	    28,97\,\mathrm{cm^2}\approx\D\frac{1}{2}\cdot8\,\mathrm{cm}\cdot d
	    \quad\Rightarrow\quad d\approx7,24\,\mathrm{cm}$. 
      \end{itemize}
\end{enumerate}

}
