%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh062_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $PQRS$ ist dadurch entstanden, dass man "uber den vier Seiten des Quadrates $ABCD$ mit der Seitenl"ange $a$ jeweils gleichseitige Dreiecke errichtet hat.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Fgur f"ur $a=4\,\mathrm{cm}$.
\item Begr"unde: Das Viereck $PQRS$ ist ein Quadrat.\\
      Hinweis: Zeige, dass z.B. $\sphericalangle APS=15^\circ$ gilt.
\item Zeige auf verschiedene Weise: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des Vierecks $PQRS$ gilt:\\
      \centerline{$A_{PQRS}=a^2(2+\sqrt 3)$}\,.
\item Berechne den prozentualen Fl"achenanteil des Quadrates $ABCD$ am Viereck $PQRS$.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh062_l1.1}
      \end{center}
\item Die vier Dreiecke $SPA$, $PQB$, $QRC$ und $RSD$ sind aus Symmetriegr"unden kongruent. Also handelt es sich                                                                bei dem Viereck $PQRS$ mindestens um eine Raute.\\
      Am Punkt $A$ gilt: $\varphi = 360^\circ-90^\circ-2\cdot60^\circ=150^\circ$\,.\\
      Aus Symmetriegr"unden sind die vier Dreiecke $SPA$, $PQB$, $QRC$ und $RSD$ gleichschenklig.\\
      $\Rightarrow\quad\delta=(180^\circ-150^\circ):2=15^\circ$\,.\\
      Dann siehst du z.B. am Punkt $P$:\,\, $\sphericalangle QPS=2\cdot15^\circ+60^\circ=90^\circ$\,. Also ist die Raute sogar ein Quadrat.
\item {\bf 1. M"oglichkeit:} Die Summe aller Teilfl"achen\\
      $A_{PQRS}=a^2+4\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3+4\cdot\D\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot\sin 150^\circ=
      a^2+a^2\sqrt 3+a^2=a^2(2+\sqrt 3)$\,.\\

      {\bf 2. M"oglichkeit:} Alle Quadrate sind zueinander "ahnlich\\
      Wenn du das kleine Quadrat $ABCD$ mit einem Faktor $k$ streckst, erh"altst du das gro"se Quadrat. (Erst eine anschlie"sende Drehung des gestreckten Quadrates um $45^\circ$ br"achte dieses Zwischenbild zur Deckung mit dem gro"sen Quadrat $PQRS$. Aber das spielt bei der Ermittlung des Fl"acheninhaltes des gro"sen Quadrates $PQRS$ keine Rolle, weil ja die Drehung einer Fl"ache deren Inhalt unver"andert l"asst.)\\

      Den Streckungsfaktor $k$ ermittelst du "uber die Diagonalenl"angen:. Es gilt z.B.:
      $k=\D\frac{\overline{SQ}}{\overline{AC}}$\,.\\
     
      $\overline{SQ}=2\cdot\D\frac{a}{2}\sqrt3+a=a\cdot(\sqrt3+1)$\quad und \quad
      $\overline{AC}=a\sqrt2$\,.\\

      Dann gilt: $k=\D\frac{a\cdot(\sqrt3+1)}{a\sqrt2}=\D\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\,\cdot\,
      \D\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\D\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{2}$\,.\\         

      Weiter folgt:\\

      $A_{PQRS}=k^2\cdot A_{ABCD}=\left[\D\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{2}\right ]^2\cdot a^2
      =\D\frac{2(3+2\sqrt 3+1)}{4}\cdot a^2$\,.\\
      $\Rightarrow\quad A_{PQRS}=(2+\sqrt3)\cdot a^2$\,. \\
\item $\D\frac{A_{ABCD}}{A_{PQRS}}=\D\frac{a^2}{(2+\sqrt3)\cdot a^2}=\D\frac{1}{2+\sqrt3}\approx
      0,2679=26,79\%$\,. 
\end{enumerate}
}
