%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh084_a1.1}
      \end{center}
Die Darstellung zeigt den Axialschnitt eines Zimmerbrunnens: Eine Kugel aus Marmor mit dem Radius
$r=x\,\mathrm{cm}$ ist in eine unbewegliche Halbkugelschale mit einem "au"seren Durchmesser von
$30\,\mathrm{cm}$ aus dem gleichen Material eingepasst. Ein d"unner Wasserfilm in der
Ber"uhrfl"ache der beiden K"orper bewirkt, dass die Kugel fast reibungsfrei rotieren kann.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=7,5$ im Ma"sstab $1:5$.
\item Berechne f"ur $x=7,5$ die Oberfl"ache der Halbkugelschale in der Einheit $\mathrm{dm^2}$.
\item \begin{itemize}
      \item Zeige: F"ur die Oberfl"ache $O$ der Kugelschale gilt in Abh"angigkeit von $x$:
            \begin{center}
             $O(x)=(x^2+475)\cdot\pi\,\mathrm{cm^2}$
            \end{center}
      \item Best"atige damit dein Ergebnis der Aufgabe (b).
      \end{itemize}	    
\item Berechne $x$ so, dass die Oberfl"ache der Halbkugelschale f"unfmal so gro"s wie die der Vollkugel
      ist.
\item Berechne f"ur $x=7,5$ das Volumen der Halbkugelschale in der Einheit $\mathrm{dm^3}$.
\item \begin{itemize}
      \item Zeige: F"ur das Volumen $V$ der Kugelschale gilt in Abh"angigkeit von $x$:
            \begin{center}
             $V(x)=(2250-\D\frac{2}{3}x^3)\cdot\pi\,\mathrm{cm^3}$
            \end{center}
      \item Best"atige damit dein Ergebnis der Aufgabe (e).
      \end{itemize}	    
\item Berechne $x$ so, dass die Halbkugelschale genau so schwer wie die Vollkugel ist.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh084_l1.1}
      \end{center}
      F"ur die Zeichnung gilt: Kugelradius $r=(7,5:5)\,\mathrm{cm}=1,5\,\mathrm{cm}$ und "au"serer
      Radius der Halbkugelschale $R=(15:5)\,\mathrm{cm}=3\,\mathrm{cm}$.\\
      Beginne am besten mit dem Vollkreis.
\item "Au"sere Halbkugel: $O_a=\D\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\,^2\pi\,\mathrm{cm^2}=
      250\pi\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      Innere Halbkugel: $O_i=\D\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7,5\,^2\pi\,\mathrm{cm^2}=
      112,5\pi\,\mathrm{cm^2}$\\
	    
      Kreisring aus $[AB]$ bzw. $[CD]$: $A_{KR}=(15^2\pi-7,5^2\pi)\,\mathrm{cm^2}=
      168,25\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      Somit ergibt sich f"ur die Oberfl"ache der Halbkugelschale in diesem Fall:\\
      $O_{HKS}=531,25\pi\,\mathrm{cm^2}\approx 1668,97\,\mathrm{cm^2}
      \approx 1669\,\mathrm{cm^2}\approx 16,7\,\mathrm{dm^2}$.
\item \begin{itemize}
      \item "Au"sere Halbkugel: $O_a=\D\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\,^2\pi\,\mathrm{cm^2}=
            250\pi\,\mathrm{cm^2}$\\
      
            Innere Halbkugel: $O_i=\D\frac{1}{2}\cdot 4\cdot x\,^2\pi\,\mathrm{cm^2}=
	    2x^2\pi\,\mathrm{cm^2}$\\
	    
	    Kreisring aus $[AB]$ bzw. $[CD]$: $A_{KR}=(15^2\pi-x^2\pi)\,\mathrm{cm^2}=\\=
	    (225\pi-x^2\pi)\,\mathrm{cm^2}$\\
	    
	    Somit ergibt sich: $O(x)=(250+2x^2+225-x^2)\pi\,\mathrm{cm^2}=(x^2+475)\pi\,\mathrm{cm^2}$.\\
	    
      \item $O(7,5)=(7,5^2+475)\pi\,\mathrm{cm^2}=531,25\pi\,\mathrm{cm^2}$, siehe L"osung (b).\\
      \end{itemize}	    
\item Die Ma"szahlengleichung f"ur $x\in\RR^+$ hei"st:\\
      $5\cdot4x^2\pi=(x^2+475)\pi\quad\Leftrightarrow\quad 19x^2=475
      \quad\Leftrightarrow\quad x=5$\\
\item $V=\left(\D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{4}{3}\cdot 15^3-\D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{4}{3}\cdot 7.5^3
      \right)\,\mathrm{cm^3}=1968,75\pi\,\mathrm{cm^3}\approx 6185\,\mathrm{cm^3}\approx 6,2
      \,\mathrm{dm^3}$\\
      
\item \begin{itemize}
      \item
      $V(x)=\D\frac{2}{3}\pi\left(15^3-x^3\right)\,\mathrm{cm^3}=\left(2250-\D\frac{2}{3} x^3\right)\pi
      \,\mathrm{cm^3}$
      \item $V(7,5)=\left(2250-\D\frac{2}{3}\cdot 7,5^3\right)\pi=1968,75\pi\,\mathrm{cm^3}$, siehe
      L"osung (e).\\
      \end{itemize}	    
\item In der Angabe steht, dass die Halbkugelschale und die Vollkugel aus dem gleichen Material sind.
      Wenn das Volumen der beiden K"orer identisch ist, dann m"ussen auch die zugeh"origen Massen gleich
      sein. Daraus ergibt sich die zugeh"orige Ma"szahlengleichung mit $x\in\RR^+$:\\

      $\left(2250-\D\frac{2}{3} x^3\right)\pi=\D\frac{4}{3} x^3\pi\quad\Leftrightarrow\quad
      2250=2\cdot x^3\quad \quad\Rightarrow\quad x\approx 10,40$

\end{enumerate}
}

