
%
\ANG
{
 Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basisl"ange $\overline{AB}=12\,\mathrm{cm}$ und dem
 Basismittelpunkt $M$. Die Dreiecksh"ohe $[CM]$ ist $5\,\mathrm{cm}$ lang.\\
 Dieses Dreieck ist die Grundfl"ache einer $9,5\,\mathrm{cm}$  hohen Pyramide $ABCS$, deren Spitze $S$ 
 senkrecht "uber dem Mittelpunkt $M$ liegt.
\begin{enumerate}
\item Zeichne f"ur $q=0,5$ und $\omega = 30^\circ$ ein Schr"agbild dieser Pyramide $ABCS$, so dass $[CM]$ auf
      der Schr"agbildachse liegt.
\item Berechne die L"ange der Seitenkante $[CS]$ und das Ma"s $\alpha$ des Winkels $MCS$:\\
      \centerline{[ Ergebnisse: $\overline{CS}\approx 10,74\,\mathrm{cm}$ und $\alpha\approx 62,24^\circ$ ]}
\item Begr"unde ohne Rechnung: Die Seitenkante $[AS]$ muss l"anger als die Seitenkante $[CS]$ sein.
\item Auf der Seitenkante $[CS]$ wandern Punkte $P_n$ mit dem Ma"s $\varphi$ der Winkel $P_nMC$. Dabei werden
      laufend Dreiecke $ABP_n$ erzeugt.
      \begin{itemize}
      \item Zeichne f"ur $\varphi=40^\circ$ das Dreieck $ABP_1$ ein.
      \item Berechne die Innenwinkelma"se dieses Dreiecks $ABP_1$.
      \end{itemize}
\item Unter allen Dreiecken $P_nQ_nR_n$ gibt es ein rechtwinkliges Dreieck $ABP_2$ mit der Hypotenuse$[AB]$.\\
      Konstruiere dieses Dreieck $ABP_2$ in das Schr"agbild.
\item Untersuche, ob es unter allen Dreiecken $ABP_n$ auch gleichseitige gibt.
\item Das Ma"s $\varphi$ der Neigungswinkel der Dreiecke $ABP_n$ zur Grundfl"ache $ABC$ w"achst von 
      $0^\circ$ bis $90^\circ$. Eines der drei unten stehenden Diagramme beschreibt graphisch den Zusammenhang
      zwischen dem Winkelma"s $\varphi$ und dem jeweils zugeh"origen Ma"s $\varepsilon$ des Innenwinkels
      $AP_nB$ der Dreiecke $ABP_n$ n"aherungsweise korrekt. Die beiden anderen stellen diesen Zusammenhang 
      falsch dar.\\
      Welche beiden sind das? Begr"unde jeweils deine Antwort.\\
            
      \begin{center}
      \includegraphics{10bm001_l01.2}
      \includegraphics{10bm001_l02.3}
      \includegraphics{10bm001_l03.4}
      \end{center}      

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Siehe Zeichnung.
      \begin{center}
      \includegraphics{10bm001_l.1}
      \end{center}
\item Es gilt: $\overline{CS}\,^2=(5^2+9,5^2)\,\mathrm{cm^2}\quad\Rightarrow\quad\overline{CS}
      \approx 10,74\,\mathrm{cm}$\\
      Weiter gilt: $\tan\alpha=\D\frac{9,5}{5}\quad\Rightarrow\quad\alpha\approx 62,24^\circ$
\item 1. M"oglichkeit:\\
      Die beiden in $M$ rechtwinkligen Dreiecke $CMS$ und $AMS$ besitzen die gemeinsame Kathete $[MS]$. Die
      Kathete $[AM]$ ist l"anger als die Kathete $[CM]$. Also ist auch die Hypotenuse $[AS]$ l"anger als die
      Hypotenuse $[CS]$.\\
      2. M"oglichkeit:\\
      Das Dreieck $CMS$ steht aufrecht in wahrer Gr"o"se da.\\
      Zeichene das Dreieck $AMS$ in wahrer Gr"o"se und vergleiche die Hypotenusenl"angen $[CS]$ und $[AS]$:
      $\overline{AS}$ ist l"anger als $\overline{CS}$.
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item $\sphericalangle CP_1M\approx 180^\circ -40^\circ -62,24^\circ\approx 77,76^\circ$\\
            Sinussatz im $\Delta CMP_1$:
            $\D\frac{\overline{P_1M}}{\sin 62,24^\circ}\approx\D\frac{5\,\mathrm{cm}}{\sin 77,76^\circ}
	    \quad\Rightarrow\quad \overline{P_1M}\approx 4,53\,\mathrm{cm}$\\
	    	    
	    Das Dreieck $ABP_1$ ist gleichschenklig. Die H"ohe $[P_1M]$ liegt auf der Symmetrieachse des
	    Dreiecks:\\
	    
	    $\tan\sphericalangle MAP_1\approx\D\frac{4,53}{6}\quad\Rightarrow\quad\sphericalangle MAP_1
	    =\sphericalangle P_1BM\approx 37,05^\circ$\\
	    $\sphericalangle AP_1B \approx 180^\circ -2\cdot 37,05^\circ\approx 105,90^\circ$\\
            $\sphericalangle CP_1M\approx 180^\circ - 40^\circ - 62,24^\circ\quad\sphericalangle CP_1M\approx
            77,76^\circ$\\
	    
	    $\D\frac{\overline{P_1M}}{\sin 62,24^\circ}\approx
	    \D\frac{5\,\mathrm{cm}}{\sin 77,76^\circ}\quad\Rightarrow\quad\overline{P_1M}
	    \approx 4,53\,\mathrm{cm}$\\
	    
	    Das Dreieck $ABP_1$ ist gleichschenklig: $\overline{P_1A}=\overline{P_1B}$. Die H"ohe auf die Basis
	    $[AB]$ liegt auf der Symmetrieachse des Dreiecks:\\
	    
	    $\tan\sphericalangle MAP_1=\D\frac{\overline{MP_1}}{\overline{AM}}\approx
	    \D\frac{5\,\mathrm{cm}}{\sin 77,76^\circ}$\\
	    
	    $\Rightarrow\quad\sphericalangle MAP_1 =\sphericalangle P_1BM\approx 37,05^\circ
	    \quad\Rightarrow\quad\sphericalangle AP_1B\approx 105,9^\circ$.
      \end{itemize}
\item       Alle Dreiecke $ABP_n$ sind gleichschenklig mit der gemeinsamen Basis $[AB]$. Das rechtwinklige Dreieck
            $ABP_2$ besitzt den Durchmesser des THALES-Kreises als Hypotenuse $[AB]$. Folglich muss die H"ohe 
	    $[MP_2]$ dieses Dreiecks halb so lang wie die Hypotenuse, n"amlich $6\,\mathrm{cm}$ sein.\\
	    Weil das Dreieck $CMS$ in wahrer Gr"o"se erscheint, schneidet die Kreislinie $k$ mit
	    Radius $6\,\mathrm{cm}$ die Seitenkante $[CS]$ im Punkt $P_2$.
\item Alle Dreiecke $ABP_n$ sind gleichschenklig mit der gemeinsamen Basis $[AB]$, die $12\,\mathrm{cm}$ lang ist.
      Wenn darunter ein gleichseitiges Dreieck sein soll, dann muss einer von dessen Innenwinkeln, z.B.
      $\sphericalangle BAP_n$, das Ma"s $60^\circ$ besitzen.\\
      Je n"aher die Punkte $P_n$ an die Sitze $S$ der Pyramide heranr"ucken, desto h"oher werden die Dreiecke
      $ABP_n$ mit ihren H"ohen $[MP_n]$ und desto gr"o"ser werden die Ma"se der Innenwinkel $BAP_n$.
      Falls einer der Punkte $P_n$ auf der Spitze $S$ landet, werden die betreffenden Ma"szahlen jeweils 
      maximal.\\
      
      1. M"oglichkeit:
      
      Im $\Delta ABS$ gilt: $\tan\sphericalangle BAS=\D\frac{9,5}{6}\quad\Rightarrow\quad\sphericalangle BAS
      < 57,8^\circ<60^\circ$.
      
      Die Ma"se der Innenwinkel der Dreiecke $ABP_n$ erreichen also f"ur keinen der Punkte $P_n$ das Ma"s
      $60^\circ$. Damit existiert unter allen Dreiecken $ABP_n$ kein gleichseitiges.\\
      
      2. M"oglichkeit:
      
      Wenn eines der Dreiecke $ABP_n$ gleichseitig sein soll, dann gilt f"ur dessen H"ohe
      $h = \D\frac{12}{2}\sqrt{3}>10,39\,\mathrm{cm}>9,5\,\mathrm{cm}=\overline{MS}$.\\
      Also gibt es unter allen Dreiecken $ABP_n$ kein gleichseitiges.
\item Im Diagramm I beginnt der Graph im Ursprung. Das w"urde bedeuten:\\
      Dem Winkelma"s $\varphi = 0^\circ$ ist das Winkelma"s $\varepsilon= 0^\circ$ zugeordnet.\\
      Folglich m"usste das Dreieck ABC wegen $\varphi = 0^\circ$ zur Strecke entarten. Das ist offensiichtlich
      nicht der Fall. Also stellt das Diagramm I den Sachverhalt falsch dar.\\
      Aus dem Diagramm III kannst du ablesen, dass sich das Winkelma"s $\varepsilon$ nicht "andert, also vom
      Winkelma"s $\varphi$ unabh"angig ist. Der Punkt $P_3$ jedoch (vgl. Zeichnung) besitzt unter allen Punkten
      $P_n$ die k"urzeste Entfernung zur Basis $[AB]$. Also muss dort das Winkelma"s $\varepsilon$ am gr"o"sten
      ausfallen. Daher muss dieses Winkelma"s ver"anderlich sein: Die Darstellung im Diagramm III ist auch
      falsch.\\
      {\bf Anmerkungen:}\\
      Im Aufgabentext wird ausgesagt, dass eines dieser drei Diagramme den Sachverhalt (n"aherungsweise)
      richtig darstellt. Das kann dann nur das Diagramm II sein. Es gibt zu dieser Teilaufgabe eine dynamische
      Konstruktion mit GEONExT (Dateiname: $\mathrm{10bm001\_\,l.gxt}$), welche diesen Graphen bei der Bewegung des
      Punktes $P$ auf der Kante $[CS]$ korrekt wiedergibt.
\end{enumerate}
}              

