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\ANG
{In der Figur 1 und in der Figur 2 sind die Punkte $M_1$ und $M_2$ die Mittelpunkte der 
zugeh"origen Kreisb"ogen.\\
Jede der beiden grau get"onten Fl"achen rotiert um die betreffende Achse $s_1$ bzw. $s_2$.\\
\begin{center}
\includegraphics{10eh030_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Berechne den Unterschied der Rauminhalte der beiden Rotationsk"orper.
\item Maria behauptet: \GF{Die Oberfl"achen der beiden Rotationsk"orper sind gleich
      gro"s.} Hat Maria Recht? Begr"unde deine Antwort.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Am besten zeichnest du dir erst einmal die Axialschnitte der beiden Rotationsk"orper hin:
     \begin{center}
     \includegraphics{10eh030_l.1}
     \end{center}
\item Der zur Figur 1 geh"orende Rotationsk"orper $R_1$ besteht aus einem Kegel,
      an dessen Grundfl"ache eine Halbkugel
      h"angt. Aus dem Kegel des Rotationsk"orpers $R_2$ ist eine Halbkugel mit dem gleichen
      Radius herausgebohrt worden. Beide Kegel von $R_1$ und $R_2$ sind kongruent.\\
      Also unterscheiden sich die entsprechenden Rauminhalte $V_1$ und $V_2$ der beiden
      Rotationsk"orper lediglich um das Volumen einer Kugel mit Radius $2\,\mathrm{cm}$:\\
      
      $V_1-V_2=\Delta V = \D\frac{4}{3}\cdot 2^3\cdot \pi\,\mathrm{cm^3}=\D\frac{32}{3}\cdot 
      \pi\,\mathrm{cm^3}\approx 33,51\,\mathrm{cm^3}$.\\
\item Die Oberfl"achen $O_1$ und $O_2$ der Rotationsk"orper $R_1$ und $R_2$ bestehen aus
      paarweise kongruenten Teilfl"achen:
      \begin{itemize}
      \renewcommand{\labelitemi}{$-$}
      \item Zwei Kreisringe mit dem Durchmesser $9\mathrm{cm}$, die jeweils $2,5\mathrm{cm}$
            breit sind
      \item Zwei Kegelm"antel
      \item Zwei Halbkugeln mit dem Durchmesser $4\,\mathrm{cm}$
      \end{itemize}
      Folglich hat Maria Recht: $O_1=O_2$.\\
      {\bf Anmerkung:} Nat"urlich kannst du die Oberfl"achen auch jeweils berechnen, aber
      dadurch verz"ogerst du nur die Entscheidung, ob Maria Recht hat.
 \end{enumerate}
}

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