%
%
\ANG
{
	Gegeben sind die Parabel~$p$ und die Gerade~$g$ durch die Gleichungen:\\
	$p\mathord{:}~~y=-0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+1$ ~und~ $g\mathord{:}~~y=0{,}5\,x\;+3$.\\ 
	Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh027mn10_a.1}
	\end{center}
	Die Punkte~$P_n(x\mid-0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+1)$ liegen auf der Parabel~$p$ dort, wo diese {\bf oberhalb} der Geraden~$g$ verl"auft.
	Punkte~$Q_n$ auf dieser Geraden besitzen jeweils den gleichen Abszissenwert~$x$ wie die Punkte~$P_n$. 
	Zudem liegen auf der Gerade~$g$ Punkte~$R_n$, deren Abszissenwert jeweils um~$2$ gr"o"ser als der Abszissenwert von~$Q_n$ ist.
	Mit diesen drei Eckpunkten entstehen Dreiecke~$P_nQ_nR_n$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne f"ur ~$x=-4{,}5$~ das Dreieck~$P_1Q_1R_1$ ein!
	\item 	Zeige, dass f"ur die Streckenl"angen~$|\overline{P_nQ}_n|$ in Abh"angigkeit von $x$\\
			gilt:~~$|\overline{P_nQ}_n|(x)=(-0{,}5\,x^2\;-4{,}5\,x\;-2)\,cm$\,!
	\item 	Begr"unde, dass die l"angste unter allen Streckenl"angen~$|\overline{P_nQ}_n|$ gleichzeitig\\
			das fl"achengr"o"ste unter allen Dreiecken~$P_nQ_nR_n$ erzeugt!
	\item 	Untersuche rechnerisch, ob es unter allen Dreiecken $P_nQ_nR_n$\\
			gleichschenklige mit der Basis~$\overline{P_nQ}_n$ gibt!
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Zeichne f"ur ~$x=-7$~ das Dreieck~$P_2Q_2R_2$ ein und weise rechnerisch nach,\\
					dass dieses Dreieck rechtwinklig ist!
			\item 	Berechne das Ma"s eines der spitzen Innenwinkel dieses Dreiecks!
			\item 	Konstruiere in der Zeichnung den Eckpunkt~$P_3$ vom Dreieck~$P_3Q_3R_3$,\\
					welches zum Dreieck~$P_2Q_2R_2$ kongruent ist!\\
					Begr"unde deine Vorgehensweise und zeichne dieses Dreieck fertig!
			\end{itemize}
	\item 	Berechne zu den rechtwinkligen Dreiecken~$P_4Q_4R_4$ und $P_5Q_5R_5$ mit den\\
			Hypotenusen~$\overline{Q_4R}_4$ bzw. $\overline{Q_5R}_5$ die zugeh"origen $x$-Werte!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Siehe Zeichnung!
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh027mn10_l.1}
			\end{center}
	\item 	Es gilt: $|\overline{P_nQ}_n|(x)=\left(p\,(x)^{\phantom{|}}-g\,(x)\right)\,cm=(-0{,}5x^2\;-4{,}5\,x\;-2)\,cm$.
	\item 	1.\,M"oglichkeit: (anschaulich)\\
			Die H"ohen~$\overline{R_nF}_n$ der Dreiecke~$P_nQ_nR_n$ sind konstant~$2\,cm$ lang (siehe Zeichnung).\\
			Nur die L"angen der zugeh"origen Grundlinien~$\overline{P_nQ}_n$ sind ver"anderlich.\\
			Wegen der Formelgleichung f"ur Dreiecksfl"achen $A=\frac{1}{2}\cdot\mathrm{Grundlinie}\cdot\mathrm{H"ohe}$
			h"angt der Fl"acheninhalt dieser Dreiecke nur von den L"angen der Grundlinien ab.
			Wenn dort die maximale L"ange erreicht ist, dann ist auch die zugeh"orige Dreiecksfl"ache am gr"o"sten.\\
			2.\,M"oglichkeit: (rechnerisch)\\
			F"ur den Fl"acheninhalt~$A(x)$ der Dreiecke~$P_nQ_nR_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
			$A(x)=\frac{1}{2}\cdot|\overline{P_nQ}_n|\cdot|\overline{R_nF_n}|=\frac{1}{2}\cdot|\overline{P_nQ}_n|\cdot2\,cm=|\overline{P_nQ}_n|\,cm$.\\
			Damit stimmen f"ur jeden zul"assigen $x$-Wert die Ma"szahlen von Fl"acheninhalt und Grund\-linien\-l"ange "uberein.
	\item 	Es gilt $Q_n(x\mid0{,}5\,x\;+3)$ und $R_n(x\;+2\mid0{,}5\,(x\;+2)\;+3)=(x\;+2\mid0{,}5\,x\;+4)$.\\
			Betrachte das Steigungsdreieck~$Q_1HR_1$, das an der Geraden~$g$ unver"anderlich ist.\\
			Dem kannst du entnehmen, dass stes $|\overline{Q_nR}_n|=\sqrt{1^2\;+2^2}\,cm=\sqrt{5}\,cm$ gilt.\\
			Von Aufgabe~(b) ist $|\overline{P_nQ}_n|(x)=(-0{,}5\,x^{2\phantom{|}}-4{,}5\,x\;-2)\,cm$ schon bekannt.\\
			Somit gilt: ~$-0{,}5\,x^2\;-4{,}5\,x\;-2=\sqrt{5}~~\iff~~0{,}5\,x^2\;+4{,}5\,x\;+(2\;+\sqrt{5})=0$\\
			$\Rightarrow\quad D^*=16{,}25\;-2\sqrt{5}\,(\approx 11{,}78)>0$.\\
			Also gibt es zwei solche gleichschenklige Dreiecke.
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Siehe Zeichnung!
			\item 	$x=-7$ liefert: ~$P_2(-7\mid4{,}5)$, $Q_2(-7\mid-0{,}5)$ ~und~ $R_2(-5\mid0{,}5)$.\\
					$|\overline{P_2Q}_2|=5\,cm$, $|\overline{Q_2R}_2|=\sqrt{5}\,cm$ (siehe Aufgabe~(d)!) und\\
					$|\overline{P_2R}_2|=\sqrt{(7\;-5)^2\;+(4{,}5\;-0{,}5)^2}\,cm=\sqrt{20}\,cm$.\\
					In diesem Dreieck~$P_2Q_2R_2$ gilt der Satz des PYTHAGORAS:\\
					$5^2=\sqrt{5}\,^2+\sqrt{20}\,^2$. Also ist das Dreieck~$P_2Q_2R_2$ rechtwinklig. 
			\item	Jeder Eckpunkt~$Q_n$ der Dreiecke~$P_nQ_nR_n$ ist Scheitel eines Winkels mit dem Ma"s~$\varphi$ (Stufen- oder F-Winkel).
					Im Steigungsdreieck $Q_1HR_1$ ist der Punkt $R_1$ ebenfalls Scheitel eines Winkels mit dem Ma"s $\varphi$ (Wechsel- oder Z-Winkel).\\
					Mit $m_g=0{,}5$ gilt dort: $\varphi=90^\circ\,-\tan^{-1}(0{,}5)=\tan^{-1}(2)\approx63{,}43^\circ$.
			\item	Die Parallele~$h$ zu~$g$ durch den Punkt~$P_2$ schneidet die Parabel~$p$ im Punkt~$P_3$\,!\\
					Begr"undung:\\
					Der Punkt~$P_2$ besitzt den Abstand~$|\overline{P_2R}_2|$ zur Geraden~$g$.
					Alle Punkte~$P_n$ aber, die den Abstand~$|\overline{P_2R}_2|$ von der Geraden~$g$ haben,
					liegen auf einer Parallelen zur Geraden~$g$ durch den Punkt~$P_2$.
			\item 	Weil alle Strecken~$\overline{Q_nR}_n|$ die L"ange von~$\sqrt{5}\,cm$ haben, m"ussen die gesuchten Dreiecke
					z.\,B. zum Dreieck~$Q_1R_1F_1$ kongruent sein;\\
					d.\,h. es muss gelten: ~$|\overline{P_nQ}_n|(x)=1\,cm~~\iff~~-0{,}5\,x^2\;-4{,}5\,x\;-3=0$\\
					$\Rightarrow\quad D^*=14{,}25\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\frac{4{,}5\,\pm\,\sqrt{14{,}25}}{-1}$
					$\Rightarrow\quad x_4\approx-8{,}27$ und $x_5\approx-0{,}72$.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}              