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\ANG{
{\bf Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist}

Wir gehen aus von $2 \cdot n^{2} = z^{2}$. Demnach soll $n^{2} + n^{2}$ eine 
Quadratzahl sein. Beispiele: 

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{02mhpotenz012p1} 
\end{center}

F"ur $n=3$ und f"ur $n=4$ ist das Doppelte offenbar keine Quadratzahl. F"ur 
welche n klappt es? Es muss sein:

\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{02mhpotenz012p2} 
\end{center}

Die schraffierten Teile haben zusammen den Fl"acheninhalt des unschraffierten 
Quadrats. Hauptidee: Die schraffierten Teile werden in das unschraffierte 
Quadrat gelegt:

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{02mhpotenz012p3} 
\end{center}

Die beiden kleinen grauen Quadrate m"ussen zusammen so gro"s sein wie das gro"se 
wei"se Quadrat.\\
Das ist aber die Ausgangssituation. Also: Wenn $2 \cdot n^{2}$ eine 
Quadratzahl ist, so ist auch $2 \cdot k^{2}$ eine Quadratzahl mit $k < n$.\\
Daher ist $2 \cdot n^{2}$ f"ur kein $n$ eine Quadratzahl. Hier l"asst sich die 
Irrationalit"at von $\sqrt{2}$ anschlie"sen.
}

Quelle: Jahnke, T. in JMD (1983), S. 163-170
 
